Elipse
De Wikillerato
(→Ejemplo) |
(→Ejemplo) |
||
Línea 296: | Línea 296: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | | |
<math> | <math> | ||
c = 0 | c = 0 |
Revisión de 06:12 18 may 2009
Tabla de contenidos |
Definición
Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.
Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a, y , es constante. Veamos sus elementos en los siguiente dibujos:
Los puntos fijos y se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.
Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento . El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.
Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos, , , y que reciben el nombre de vértices .
La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por . La mitad de esta distancia, , es la semidistancia focal.
Para cualquier punto de la elipse, se verifica que es constante. Llamamos a esta constante .
El segmento es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es . La mitad de esta distancia, , se denomina semieje mayor.
El segmento es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por . La mitad de esta distancia, , es el semieje menor.
Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos , y el centro de la elipse, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:
La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:
Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse. En una elipse y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.
¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una persona?
En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta distancia y esta utilizando una cuerda con sus extremos unidos. El jardinero tensa la cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta con la mano y dibuja la elipse creando un surco con la vara mientras se asegura de que la cuerda siempre forma un triangulo:
Ecuación
Supongamos que el origen de cordenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje , entonces los focos son:
La condición de que la suma de la distancias de un punto cualquiera de la elipse, , a los focos es se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:
Igualdad que es equivalente a esta otra:
que constituye la ecuación reducida de la elipse.
Ejemplo
y, por tanto, la excentricidad de una circunferencia es 0.
Referencias
- Cónicas: Ecuaciones de la circunferencia y la elipse, Pilar Ferrero Casado. Matemáticas: ESO, Bachillerato y Selectividad.
- Cónicas: Webs dinámicas con GeoGebra, Manuel Sada Allo