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Matriz inversa

De Wikillerato

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elementales por filas en la matriz &nbsp;
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Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
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1. Intercambiar las filas &nbsp;
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2. Multiplicar la fila &nbsp;
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&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
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3. Sumar la fila &nbsp;
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&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
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F_i \to \ F_i + F_j
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4. Sumar las filas &nbsp;
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&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
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F_i
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&nbsp; o &nbsp;
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F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
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Revisión de 07:35 27 may 2009

Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   A   de orden   n,   es la matriz,   A^{-1} ,   de orden   n   que verifica:


A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I


donde   I   es la matriz identidad de orden   n .


Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:


1.   Si existe,   A^{-1}   es única.


2.   \left( </p> <pre> A^{-1} </pre> <p>\right) ^{-1} = A


3.   \left( </p> <pre> A \cdot B </pre> <p>\right) ^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}


Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Mediante la definicion


Ejemplo


A = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right)


hacemos


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


como


I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right)


Operando:


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right) \Leftrightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


\Rightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


Método de Gauss-Jordan


La inversa de una matriz regular   A   se calcular transformando la matriz   \left( </p> <pre>\, A \, \left| \, I \, \right. </pre> <p>\right)   mediante operaciones elementales por filas en la matriz   \left( </p> <pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. </pre> <p>\right)


Operaciones elementales por filas en una matriz


Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   i   y   j,   que designaremos por   F_i \longrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   i   por el numero   k \neq 0   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


3. Sumar la fila   i   con la fila   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


4. Sumar las filas   i   y   j,  , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila   i   o   j  . Lo designamos por   F_i   o   F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j


Véase también

  1. Cálculo de la invena matriz

Ejercicios resueltos


Producto e invertibilidad de matrices

Obtenido de "http://wikillerato.org/Matriz_inversa.html"
   
 
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