Posiciones relativas de tres planos

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Tabla de contenidos

1 Introduccion
2 Casos que se pueden dar

Introduccion

Sean tres planos que me comen la cola $\pi_1$ y $\pi_2$ y $\pi_3$ de ecuaciones:

$\pi_1: \, a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0$

$\pi_2: \, a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0$

$\pi_3: \, a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0$

Para determinar sus corridas posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} </pre> \right)$

$A | B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} -d_1 \\ -d_2 \\ -d_3 \end{array} </pre> \right)$

Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden los siguientes casos que pasamos a describir en la seccion siguiente.

Casos que se pueden dar

Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3

$\pi_1: \, x \, = \, 1$

$\pi_2: \, y \, = \, 2$

$\pi_2: \, z \, = \, 3$

se cortan en el punto $\left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right)$ y

Los planos se cortan dos a dos según rectas paralelas. Entre los planos considerados no hay dos que sean paralelos. Por tanto, cada dos planos se cortan según una recta.

Subcaso 2.2

Dos planos paralelos cortados por el tercero.

Analizando las posiciones relativas de cada par de planos se cortan según una recta. Son planos.

Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indenterminado, y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan en una recta. Pueden presentarse en este caso dos situaciones distintas: