Signo de la función

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Revisión de 16:12 3 ago 2010

Introducción

En muchos casos, es interesante el conocer el signo que toma la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ dependiendo de los valores de $x$ .

Ejemplo

Supongamos que la variable dependiente $y$ son los beneficios de una compañia en un año cualquiera. Resulta que estos beneficios dependen de los ingresos de la compañia a lo largo del año y que representaremos por $\mathrm{x}$ .

Exite una función $\mathrm{f}$ que establece de manera precisa como depende $y$ de $x$ .

A los propietarios y empleados de la compañia les interesa mucho saber para que valores de $x$ $y$ toma valores negativos ( perdidas ) y para que valores de $x$ $y$ toma valores positivos ( ganancias ).

Signo de la función y grafica

Para encontrar los valores de $x$ para los cuales $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es positiva, podemos resolver la inecuación

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0$

y para encontrar los valores de $x$ para los cuales $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es negativa, podemos resolver la inecuación

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0$

De todas formas, si uno no tiene mucha habilidad para resolver inecuaciones, puede utilizar el método que se describe mas abajo.

Procedimiento de análisis del signo

En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la grafica de la función $f$ con el eje X y lo puntos de discontinuidad de $\mathrm{f}$ .

Supongamos que las abcisas de los puntos de corte con el eje X y de los puntos de discontinuidad son, ordenados de menor a mayor

$x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n$

Estos dividen a la recta real en $n + 1$ intervalos:

$\left( \, -\infty, \, x_1 \, \right), \, \left( \, x_1, \, x_2 \, \right), \, \left( \, x_2, \, x_3 \, \right), \, \ldots, \, \left( \, x_n, \, \infty \, \right)$

En cada uno de estos intervalos escogemos un $x^\prime$ y evaluamos $\mathrm{f}$ en el.

Si $\mathrm{f} \left( \, x^\prime \, \right)$ es positivo, entonces $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es positivo para todo $x$ en el intervalo donde hemos cogido $x^\prime$ .

Reciprocamente, si $0 > \mathrm{f} \left( \, x^\prime \, \right)$ , entonces $0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ para todo $x$ en el intervalo donde hemos cogido $x^\prime$ .

Si en algun punto de continuidad existe la función, evaluamos el signo de $f$ en dicho punto y con esto tendriamos un conocimiento completo del signo de $\mathrm{f}$ para cada uno de los valores de $x$ en el dominio de $\mathrm{f}$

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