Asíntotas

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Revisión de 18:45 5 ago 2010

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Asintota vertical
3 Ejemplo
4 Asintota vertical y grafica
5 Ejemplo
6 Ejemplo
7 Ejemplo
8 Ejemplo
9 Ejemplo
10 Asintotas horizontales
11 Ejemplo
12 Ejemplo
13 Ejemplo
14 Asintotas oblicuas
15 Ejemplo
16 Ejemplo

Introducción

Las asintotas son rectas a las que "se aproximan" la gráfica de la función.

En los siguientes apartados concretaremos que se entiende por "se aproximan".

Asintota vertical

Se dice que la recta vertical de ecuación

$y = a$

es una asintota vertical de la función $\mathrm{f}$ , si y solo si

$\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

es $+\infty$ o $-\infty$ , o bien

$\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

es $+\infty$ o $-\infty$ .

Ejemplo

La función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}$ tiene una asintota vertical de ecuación

$x = 0$

ya que

$\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$

$\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$

Asintota vertical y grafica

A la hora de dibujar en la gráfica una asintota vertical de ecuacion $x = a$ , es importante conocer ambos limites laterales:

$\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ y $\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

Veamos varios ejemplos en los que se ve claramente los distintos tipos de asintotas verticales que se pueden tener dependiendo de como sean los limites laterales anteriores.

Ejemplo

A la izquierda y a la derecha de la asintota vertical la función tiende a $+\infty$ .

Ejemplo

A la izquierda y a la derecha de la asintota vertical la función tiende a $-\infty$ .

Ejemplo

A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a $+\infty$ y a la derecha a $-\infty$ .

Ejemplo

A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a $-\infty$ y a la derecha a $+\infty$ .

Ejemplo

A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a un punto en la asintota vertical y a la derecha la función tiende a $+\infty$ .

Asintotas horizontales

La función $\mathrm{f}$ tiene una asintota horizontal por la derecha de ecuación $y = a$ si y solo si

$\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = a$

La función $\mathrm{f}$ tiene una asintota horizontal por la izquierda de ecuación $y = a$ si y solo si

$\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = a$

Pueden darse los siguientes casos:

1. No existe ninguna asintota horizontal.

2. Existe asintota horizontal por la derecha pero no por la izquierda.

3. Existe asintota horizontal por la izquierda pero no por la derecha.

4. Existe asintota horizontal por la izquierda y por la derecha.

En este ultimo caso, las asintotas horizontales por la derecha y por la izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincider.

Ejemplo

Gráfica de una función con asintota horizontal por la izquierda:

Ejemplo

Gráfica de una función con asintota horizontal por la derecha:

Ejemplo

Gráfica de una función con asintotas horizontales por derecha y por la izquierda ( ambas coinciden en este ejemplo ):

Asintotas oblicuas

$\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{x}$

es un número real $m$ distinto de cero diremos que la función $\mathrm{f}$ tiene una asintota oblicua por la derecha.

En este caso, la asintota oblicua por la derecha es la recta de ecuación

$y = m \cdot x + n$

donde

$n = \lim_{x \to \infty} \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - m \cdot x \, </pre> \right)$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{x}$

es un número real $m$ distinto de cero diremos que la función $\mathrm{f}$ tiene una asintota oblicua por la izquierda.

En este caso, la asintota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación

$y = m \cdot x + n$

donde

$n = \lim_{x \to -\infty} \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - m \cdot x \, </pre> \right)$

Si por la derecha existe asintota horizontal, no existe asintota oblicua y viceversa. Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asintotas horizontal y oblicua por la derecha.

Lo dicho en el anterior paragrafo tambien es valido por la izquierda.

Ejemplo

Grafica de una función con asintotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.

Ejemplo

Sea

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

Como

$\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - x} = 1 \neq 0$

La función $\mathrm{f}$ tiene una asintota oblicua por la derecha de pendiente 1.

Para calcular su ordenada en el origen $n$ calculamos el siguiente limite

$n = \lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x = \lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( <pre> \, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \, </pre> \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$

Por tanto la ecuación de la asintota oblicua por la derecha es

$y = x + 1$

Como

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1 \neq 0$

La función $\mathrm{f}$ tiene una asintota oblicua por la izquierda de pendiente 1.

Para calcular su ordenada en el origen $n$ calculamos el siguiente limite

$n = \lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x = \lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( <pre> \, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \, </pre> \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$