Resolución de ecuaciones no lineales

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Revisión de 17:03 22 sep 2010

Tabla de contenidos

1 Ecuaciones de segundo grado
2 Ecuaciones bicuadradas
- 2.1 Ejemplo 1
3 Ecuaciones con radicales
- 3.1 Ejemplo 2
4 Ecuaciones con x en el denominador
- 4.1 Ejemplo 3
5 Ecuaciones exponenciales
- 5.1 Ejemplo 4
- 5.2 Ejemplo 5
6 Ecuaciones logaritmicas
- 6.1 Ejemplo 6
- 6.2 Ejemplo 7

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación del tipo:

$ax^2 + bx + c = 0$

donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales.

Si $0 > b^2 - 4ac$ , entonces la ecuación de segundo grado no tiene solución.

Si $b^2 - 4ac > 0$ , entonces la ecuación tiene dos soluciones, que se pueden calcular con la siguiente formula:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Esta formula tambien se puede utilizar cuando $b^2 - 4ac = 0$ , pero, en este caso, en vez de tener dos soluciones, la ecuación cuadratica solo tiene una solución.

Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación del tipo:

$ax^4 + bx^2 + c = 0$

donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales.

Para resolverla efectuamos el cambio de incognita $y = x^2$ con este cambio de incognita, nos queda que

$ <pre> ax^4 + bx^2 + c = ay^2 + by + c = 0 </pre> $

Resolvemos la ecuación de segundo grado

$ay^2 + by + c = 0$

y para cada solución positiva $y$ de esta ecuación, habra dos soluciones de la ecuación bicuadratica de partida: $x = \pm \sqrt{y}$ .

Ejemplo 1

Resolvamos la ecuación

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Lo primeros que hacemos es realizar el cambio de incognita $y = x^2$ en la ecuación anterior, obteniendo de esta forma la ecuacion en $y$ :

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Cuyas soluciones se calculan de la siguiente manera:

$y = \frac{-\left( \, -5 \, \right) \pm \sqrt{\left( \, -5 \, \right)^2 - 4 \cdot <pre> 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} </pre> $

obteniendose las soluciones $y = 1$ e $y = 4$ .

Por lo tanto las soluciones de la ecuación bicuadrada de este ejemplo son:

$x = \pm 1 \qquad \text{y} \qquad x = \pm 2$

( cuatro soluciones )

Ecuaciones con radicales

Para resolver ecuaciones en las que la incognita $x$ se encuentra bajo una raiz cuadrada se siguen los siguientes pasos:

1. se aisla la raiz cuadrada con el $x$ dentro, y

2. se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación.

Cada una de las soluciones de la ecuación obtenida de esta forma puede ser o no solución de la ecuación inicial que queremos resolver. Para comprobar si lo es sustituimos la posible solución en la ecuación de partida. Si obtenemos una identidad, entonces se trata de una solución. En caso contrario no se trata de una solución.

Ejemplo 2

Resolvamos la ecuación

$\sqrt{x + 1} - 1 = x - 2$

Lo primero que hacemos es dejar la raiz cudrada

$\sqrt{x + 1} = x - 2 + 1$

$\sqrt{x + 1} = x - 1$

y a continuación elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación

$\left( <pre> \sqrt{x + 1} </pre> \right) ^2 = \left( \, x - 1 \, \right)^2$

$x + 1 = x^2 - 2x + 1$

Agrupando todos los terminos en un solo miembro y dejando cero en el otro, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:

$x^2 - 3x = 0$

Esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, 0 y 3. Para comprobar si el 0 es solución de la ecuación partida, sustituimos $x$ por 0 en dicha ecuación y obtenemos

$\sqrt{0 + 1} - 1 = 0 - 2$

$0 = -1$

como esto no es cierto, $x = 0$ no es solución.

Hagamos ahora lo mismo con $x = 3$ :

$\sqrt{3 + 1} - 1 = 3 - 2$

Como esta igualdad se cumple, 3 si que es solución de

$\sqrt{x + 1} - 1 = x - 2$

Ecuaciones con x en el denominador

Cuando en una ecuación tengamos fracciones, para resolver la ecuación se puede multiplicar esta por el minimo común multiplo de los denominadores de las fracciones. De esta manera desaparecerian las fracciones de la ecuación.

Las soluciones de la ecuación asi obtenida puede ser o no ser solución de la ecuación inicial con fracciones, por lo que habra que comprobar que las soluciones de la ecuación obtenida multiplicando cada miembro por el minimo común multiplo de los denominadores es solución tambien de la ecuación de partida.

Ejemplo 3

$\frac{6}{x} + \frac{x + 1}{x - 2} = 6$

En este caso el minimo comúm multiplo de los denominadores es $x \cdot \left( \, x - 2 \, \right)$ . Multiplicando la ecuación por $x \cdot \left( \, x - 2 \, \right)$ ( ambos miembros ), se obtiene la ecuación

$6 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + x \cdot \left( \, x + 1 \, \right) = 6 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) \cdot x$

que es una ecuación cuadratica

$6x - 12 + x^2 + x = 6x^2 - 12x$

$0 = 5x^2 - 19x + 12$

cuyas soluciones son

$x = 3 \qquad \text{y} \qquad x = \frac{4}{5}$

Sustituyendo estos valores en la ecuación inicial se compruba facilmente que ambos son soluciones de esta ecuación:

$\frac{6}{3} + \frac{3 + 1}{3 - 2} = 6$

$\frac{6}{\frac{4}{5}} + \frac{\frac{4}{5} + 1}{\frac{4}{5} - 2} = 6$

Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incognita esta en el exponente.

Ejemplo 4

La ecuación

$3^{1-x^2} = \frac{1}{27}$

es una ecuación exponencial. Se puede resolver tomando logaritmos en base 3 en ambos miembros:

$\log_3 \left( \, 3^{1-x^2} \, \right) = \log_3 \left( \, \frac{1}{27} \, \right)$

Como $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ y como

$\log_a a^b = b$

para cualquier número real $b$ , la ecuación anterior es equivalente a esta otra

$1 - x^2 = -3$

que es una ecuación de segundo grado.

Ejemplo 5

Consideremos ahora la ecuación exponencial

$2^x + 2^{2x + 1} = 10$

Para resolver esta ecuacion realizamos el cambio de incognita $y = 2^x$ .

Con este cambio de incognita, la ecuacion anterior es equivalente a esta otra

$y + 2y^2 = 10$

que es una ecuación de segundo grado.

Notese que, por las propiedades de las potencias

$2^{2x + 1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = \left( \, 2^x \, \right)^2 \cdot 2$

Las soluciones de la ecuación de segundo grado anterior son

$y = 2 \qquad \text{y} \qquad y = -\frac{5}{2}$

Como no existe ningún número real $x$ tal que $2^x = -\frac{5}{2}$ nos quedamos solo con la solución $y = 2$ :

$y = 2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x = 1$

Por lo tanto $x = 1$ es la unica solución de la ecuación de partida:

$2^x + 2^{2x + 1} = 10$

Ecuaciones logaritmicas

Es facil imaginarse lo que puede ser una ecuación logaritmica, ¿no? Dejemos volar la imaginación.

Ejemplo 6

La ecuación

$\log x + \log 50 = 3$

es una ecuación logaritmica.

Por las propiedades de los logaritmos ( $\log \left( \, a \cdot b \, \right) = \log a + \log b$ ):

$\log x + \log 50 = \log \left( \, 50x \, \right)$

Por otra parte, por la definición de logaritmo ( decimal )

$\log \left( \, 50x \, \right) = 3 \Rightarrow 50x = 10^3$

con lo cual, la solución es

$x = \frac{1000}{50} = 20$

Ejemplo 7

Para resolver la ecuación logaritmica

$2 \cdot \log x = \log \left( \, 10 - 3x \, \right)$

utilizamos, de nuevo, las propidades de los logaritmos, en concreto la propiedad

$\log a^b = b \log a$

por la cual

$2 \cdot \log x = \log x^2$

Por lo tanto

$\log x^2 = \log \left( \, 10 - 3x \, \right)$

Por la siguiente propiedad de los logaritmos

$\log a = \log b \Rightarrow a = b$

se tiene que

$\log x^2 = \log \left( \, 10 - 3x \, \right) \Rightarrow x^2 = 10 - 3x$

siendo esta ultima ecuación una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 2 y -5, que son tambien las soluciones de la ecuación logaritmica que queriamos resolver.

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Categoría: Matemáticas