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Matriz inversa

De Wikillerato

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(→Calculo de la matriz inversa)
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Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
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&nbsp; por el numero &nbsp;
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k \neq 0
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&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
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F_i \tau k \cdot F_i
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# Sumar las filas &nbsp;
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j,
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&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
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F_i
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F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j

Revisión de 12:09 29 nov 2006

La matriz inversa de una matriz cuadrada   A   de orden   n,   es la matriz   , A^{-1},   de orden   n   que verifica:


A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I


Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:

1.   Si existe,   A^{-1}   es única.

2.   \left( </p> <pre> A^{-1} </pre> <p>\right) ^{-1} = A

3.   \left( </p> <pre> A \cdot B </pre> <p>\right) ^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}


Calculo de la matriz inversa


Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Mediante la definicion


Por ejemplo para hallar la matriz inversa de la matriz


A = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right)


hacemos


A^{-1} = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right)


como


I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right)


Operando:


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right) \Leftrightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


\Rightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


Método de Gauss-Jordan


La inversa de una matriz regular   A   se calcular transformando la matriz   \left( </p> <pre>\, A \, \left| \, I \, \right. </pre> <p>\right)   mediante operaciones elementales por filas en la matriz   \left( </p> <pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. </pre> <p>\right)

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

  1. Intercambiar las filas  

i   y   j,   que designaremos por   F_i \longrightarrow F_j  

  1. Multiplicar la fila  

i   por el numero   k \neq 0   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   F_i \tau k \cdot F_i

  1. Multiplicar la fila  

i   por el numero   k \neq 0   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   F_i \tau k \cdot F_i

  1. Sumar las filas  

i   y   j,  , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila   i   o   j  . Lo designamos por   F_i   o   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Obtenido de "http://wikillerato.org/Matriz_inversa.html"
   
 
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