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Matriz inversa

De Wikillerato

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La '''matriz inversa''' de una [[¿Qué es una matriz?|matriz]] cuadrada &nbsp;
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La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
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A
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\mathbf{A}
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&nbsp; es la matriz, &nbsp;
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A^{-1}
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A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
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\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I
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1. &nbsp; Si existe,
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&nbsp; es única.
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A^{-1}
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A \cdot B
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\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
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^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}
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==Cálculo de la matriz inversa==
==Cálculo de la matriz inversa==
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Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
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A =
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\mathbf{A} =
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\begin{array}[c]{cc}
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I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
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La inversa de una matriz regular &nbsp;
La inversa de una matriz regular &nbsp;
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&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
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\, A \, \left| \, I \, \right.
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&nbsp; mediante operaciones elementales por filas en la matriz &nbsp;
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elementales por filas en la matriz &nbsp;
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\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
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\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
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1. Intercambiar las filas &nbsp;
1. Intercambiar las filas &nbsp;
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i
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F_i
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&nbsp; y &nbsp;
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j,
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F_i \longrightarrow F_j
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F_i \longleftrightarrow F_j
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2. Multiplicar la fila &nbsp;
2. Multiplicar la fila &nbsp;
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&nbsp; por el numero &nbsp;
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k \neq 0
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s \neq 0
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&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
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F_i \to k \cdot F_i
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s \cdot F_i
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3. Sumar la fila &nbsp;
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i
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s \cdot F_i \longrightarrow F_i
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&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
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F_i \to \ F_i + F_j
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4. Sumar las filas &nbsp;
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F_i
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&nbsp; y &nbsp;
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j,
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F_j
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&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
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&nbsp; multiplicadas por sendos números,
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s
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y sustituir &nbsp;
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F_i
F_i
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F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
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s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i
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== Véase también ==
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# [[Cálculo de la invena matriz]]
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Notese que el segundo tipo de operación, &nbsp;
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s \cdot F_i \longrightarrow F_i
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es un caso particular de esta última que se tiene cuando &nbsp;
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t = 0
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==Ejercicios resueltos==
==Ejercicios resueltos==
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[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=46 Producto e invertibilidad de matrices]
 
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[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=46 Producto e invertibilidad de matrices]
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 07:06 3 oct 2010


Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   \mathbf{A}   de orden   n,   es la matriz,   \mathbf{A}^{-1} ,   de orden   n   que verifica:


\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I


donde   I   es la matriz identidad de orden   n .


Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:


1.   Si existe,   \mathbf{A}^{-1}   es única.


2.   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


3.   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Cálculo de la matriz inversa


Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Mediante la definicion


Ejemplo


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


hacemos


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


como


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Operando:


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right) \Leftrightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


\Rightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


Método de Gauss-Jordan


La inversa de una matriz regular   \mathbf{A}   se calcular transformando la matriz   \left( </p> <pre>\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right. </pre> <p>\right)   mediante operaciones elementales por filas en la matriz   \left( </p> <pre>\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right. </pre> <p>\right)


Operaciones elementales por filas en una matriz


Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   F_i   y   F_j .   Esta operación la representaremos así


F_i \longleftrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   F_i   por el número   s \neq 0   y sustituir   F_i   por   s \cdot F_i .   Esta operación la representamos de la siguiente forma:


s \cdot F_i \longrightarrow F_i


3. Sumar las filas   F_i   y   F_j ,   multiplicadas por sendos números, s y t , y sustituir   F_i   por el resultado de esta suma. Lo representamos así:


s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i


Notese que el segundo tipo de operación,   s \cdot F_i \longrightarrow F_i   es un caso particular de esta última que se tiene cuando   t = 0 .


Ejercicios resueltos


Producto e invertibilidad de matrices

Obtenido de "http://wikillerato.org/Matriz_inversa.html"
   
 
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