Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Ángulo entre dos rectas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
-
==Ángulo entre una recta y un plano==
+
==Ángulo entre dos rectas==
<br/>
<br/>
-
El ángulo
+
El ángulo entre dos rectas
<math>
<math>
-
\alpha
+
r
</math>
</math>
-
que forma una recta
+
y
 +
<math>
 +
s
 +
</math>
 +
del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar
<math>
<math>
r
r
</math>
</math>
-
cuyo vector director es
+
y
 +
<math>
 +
s
 +
</math>
 +
en un mismo plano paralelo a las dos rectas.
 +
Las proyecciones de ambas rectas se encuentran en un mismo plano, mientras que
 +
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
s
 +
</math>
 +
no tienen porque encontrarse en un mismo plano.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo,
 +
<math>
 +
\alpha
 +
</math>
 +
y otro mayor, que seria el suplementario de
 +
<math>
 +
\alpha
 +
</math>,
 +
<math>
 +
180 - \alpha
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
[[Imagen:anguloRectas.png]]
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
El ángulo entre dos rectas
 +
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
s
 +
</math>
 +
cuyos vectores directores son, respectivamente,
<math>
<math>
\mathbf{u}
\mathbf{u}
</math>
</math>
-
y un plano
+
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
\pi
+
\mathbf{v}
</math>
</math>
-
cuyo ángulo normal es
+
&nbsp; se puede calcular con la siguiente fórmula:
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{n}
+
\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u}, \,
 +
\mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}
</math>
</math>
-
es complementario al ángulo que forman
+
</center>
 +
Calculando el arccos del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se
 +
obtiene el ángulo que forman las retas
<math>
<math>
r
r
Línea 30: Línea 83:
y
y
<math>
<math>
-
\mathbf{n}
+
s
</math>.
</math>.
<br/>
<br/>
-
Por lo tanto, se tiene que
+
==Ejemplo==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\cos \left( \, 90 - \alpha \, \right) =
+
r:
-
\frac{\left| \, \mathbf{n}, \, \mathbf{u} \, \right|}{\left| \, \mathbf{n} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{u} \, \right|}}
+
\left\{
 +
\begin{array}{ll}
 +
0 = & x - 2y + 3z
 +
\\
 +
0 = & 2x - y + 4
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
y
 +
<center>
 +
<math>
 +
s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t
 +
\cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
La recta
 +
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
0 = x - 2y + 3z
 +
</math>
 +
&nbsp; y el plano de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
0 = 2x - y + 4
 +
</math>
 +
)
 +
Podemos obtener un vector director de la recta
Podemos obtener un vector director de la recta
Línea 110: Línea 194:
\mathbf{n}^\prime
\mathbf{n}^\prime
</math>.
</math>.
-
 
-
<br/>
 
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 12:22 24 oct 2010

Ángulo entre dos rectas


El ángulo entre dos rectas r y s del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar r y s en un mismo plano paralelo a las dos rectas. Las proyecciones de ambas rectas se encuentran en un mismo plano, mientras que r y s no tienen porque encontrarse en un mismo plano.


Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, \alpha y otro mayor, que seria el suplementario de \alpha , 180 - \alpha .


Imagen:anguloRectas.png


El ángulo entre dos rectas r y s cuyos vectores directores son, respectivamente, \mathbf{u}   y   \mathbf{v}   se puede calcular con la siguiente fórmula:

\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u}, \, </p> <pre> \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}} </pre> <p>

Calculando el arccos del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas r y s .


Ejemplo


Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones

r: \left\{ </p> <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.

y

s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)

La recta r viene dada como la intersección de dos planos ( el plano de ecuación   </p> <pre> 0 = x - 2y + 3z </pre> <p>   y el plano de ecuación   0 = 2x - y + 4 )


Podemos obtener un vector director de la recta r multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:

0 = x - 2y + 3z

por un vector perpendicular del plano

0 = 2x - y + 4

Un vector perpendicular al plano

0 = x - 2y + 3z

lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:

\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al otro plano

\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, \mathbf{n} y \mathbf{n}^\prime es

\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)

donde la segunda fila es \mathbf{n} y la tercera es \mathbf{n}^\prime .

Obtenido de "http://wikillerato.org/%C3%81ngulo_entre_dos_rectas.html"
   
 
ASIGNATURAS
 MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.