Problemas de ángulos

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Revisión de 17:03 24 oct 2010

Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas $r$ y $s$ del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar $r$ y $s$ en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).

Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, $\alpha$ , y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de $\alpha$ , $180 - \alpha$ .

El ángulo entre dos rectas $r$ y $s$ cuyos vectores directores son, respectivamente, $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ , se puede calcular con la siguiente fórmula:

$\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}$

Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas $r$ y $s$ .

Ejemplo

Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones

$r: \left\{ <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> \right.$

$s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos ( el plano $\pi_1$ de ecuación $ <pre> 0 = x - 2y + 3z </pre> $ y el plano $\pi_2$ de ecuación $0 = 2x - y + 4$ ).

Un vector director $\mathbf{u}$ de la recta $s$ es el vector que multiplica al parametro $t$ en su ecuación, es decir:

$\mathbf{u} = \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

Podemos obtener un vector director $\mathbf{v}$ de la recta $r$ multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano $\pi_1$ por un vector perpendicular al plano $\pi_2$ .

Un vector $\mathbf{n}_1$ perpendicular al plano $\pi_1$ lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano $\pi_1$ :

$\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)$

De la misma forma obtenemos un vector $\mathbf{n}_2$ perpendicular al plano $\pi_2$ :

$\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)$

El producto vectorial de ambos vectores, $\mathbf{n}_1$ y $\mathbf{n}_2$ es

$\mathbf{v} = \left| <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> \right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)$

El ángulo que forman las rectas $r$ y $s$ es, por tanto

$\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| <pre> \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \, \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + 3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} </pre> $

Ángulo entre dos planos

El ángulo que forman dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ cuyos vectores normales son, respectivamente, $\mathbf{n}_1$ y $\mathbf{n}_2$ es igual al ángulo que forman $\mathbf{n}_1$ y $\mathbf{n}_2$ , que se puede hallar calculando el arccoseno de

$\frac{\left| \, \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 \, \right|}{\left| \, \mathbf{n}_1 \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{n}_2 \, \right|}}$

Ángulo entre una recta y un plano

El ángulo $\alpha$ que forma una recta $r$ cuyo vector director es $\mathbf{u}$ y un plano $\pi$ cuyo ángulo normal es $\mathbf{n}$ es complementario al ángulo que forman $r$ y $\mathbf{n}$ .

Por lo tanto, se tiene que

$\cos \left( \, 90 - \alpha \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{n}, \, \mathbf{u} \, \right|}{\left| \, \mathbf{n} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{u} \, \right|}}$