Problemas de distancias

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Revisión de 10:26 30 oct 2010

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos $P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)$ y $P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)$ es

$\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = \sqrt{ <pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 + \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 + \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 </pre> }$

Distancia entre un punto y una recta

La distancia entre un punto $P$ y una recta $r$ es la distancia entre $P$ y su proyeccion $P^\prime$ en la recta $r$ .

Ejemplo

Calculemos la distancia del punto $P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)$ con la recta de ecuaciones

$r: \left\{ <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> \right.$

Sea $P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)$ la proyección del punto $P$ en la recta $r$ .

Para hallar $P^\prime$ vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta $r$ y la otra ecuaci\'on procede de igualar a cero el producto escalar del vector

$\vec{PP^\prime} = \left( <pre> \, x, \, y, \, z \, </pre> \right) - \left( <pre> \, 2, \, 1, \, 0 \, </pre> \right)$

por un vector director de la recta $r$ . ( Ambos vectores son perpendiculares, ya que la recta que pasa por $P$ y $P^\prime$ es perpendicular a la recta $r$ ).