Resolución de triángulos

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 00:18 6 nov 2010

Tabla de contenidos

1 Conocemos un lado y dos ángulos
2 Conocemos dos lados y el ángulo que forman
3 Conocemos dos lados y otro ángulo que no es el ángulo que forman
4 Conocemos tres lados y ningún ángulo

Conocemos un lado y dos ángulos

Supongamos que conocemos la longitud del lado $a$ y los ángulos $\alpha$ y $\beta$ .

Los ángulos de un triángulo suman $\pi$ radianes, por lo tanto, como conocemos los ángulos $\alpha$ y $\beta$ del triángulo podemos hallar $\gamma$ utilizando la igualdad:

$\gamma = \pi - \alpha - \beta$

Para hallar $b$ podemos utilizar el teorema del seno:

$\frac{a}{\mathrm{sen}\left( \, \alpha \, \right)} = \frac{b}{\mathrm{sen} \left( <pre> \, \beta \, \right)} = \frac{c}{\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right)} </pre> $

Del que se deduce que

$b = \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen} \left( \, <pre> \alpha \, \right)} </pre> $

Analogamente, se deduce que

$c = \mathrm{sen}\left( \, \gamma \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen}\left( \, <pre> \alpha \, \right)} </pre> $

Conocemos dos lados y el ángulo que forman

Supongamos que conocemos $a$ , $b$ y $\gamma$ . En este caso se utiliza el teorema del coseno

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)$

para calcular $c$ :

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)}$

Una vez hallado c, calculamos $\alpha$ y $\beta$ mediante el teorema del seno:

$\alpha = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, a \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)$

$\beta = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, b \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)$

Conocemos dos lados y otro ángulo que no es el ángulo que forman

Supongamos que se conocen los lados $a$ y $b$ y el ángulo $\beta$ . Podemos utilizar el teorema del seno para hallar

$\alpha$ :

$\frac{\mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right)}{a} = \frac{\mathrm{arc} <pre> \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)}{b} </pre> $

con lo cual

$\alpha = \mathrm{arc} \mathrn{sen} \left( \, \frac{\mathrm{sen} \left( \, \beta <pre> \, \right)}{b} \cdot a \, \right) </pre> $

Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso de que se tengan dos ángulos y un lado.

Conocemos tres lados y ningún ángulo

En este caso hay que determinar todos y cada uno de los ángulos del triángulo. Para ello se utiliza el teorema del coseno. Por ejemplo, de

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$

se deduce que

$\alpha = \mathrm{arc} \cos \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Analogamente, se tiene que:

$\begin{array}{l} \beta = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ \\ \gamma = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{arry}$

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