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Cálculo de áreas y volúmenes

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(Diferencias entre revisiones)
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  y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas
  y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas
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Al girar un trozo de la grafica de una función &nbsp;
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obtenemos el volumen del cuerpo dense revolución que coicide con la siguiente integral
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obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral
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\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5
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&nbsp; ontenemos un cuerpo de revoluci\'on ( un cilindro de radio 5 y altura 7
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Utilizando la formula anterior se llega a que
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\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot
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\mathrm{d}x = \int_0^7 \pi \cdot 5^2 \cdot \mathrm{d}x = \pi \cdot 5^2 \cdot
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\left[ \, x \, \right]_0^7 = \pi \cdot 5^2 \cdot 7
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que coincide con el resultado que se obtiene con la f\'ormula del volumen de un
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cilindro:
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\text{Volumen} = \pi \cdot \text{Radio}^2 \cdot \text{Altura}
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Revisión de 23:36 25 dic 2010


Tabla de contenidos

Cálculo del área entre dos curvasmediante integrales


Supongamos que nos dan dos funciones   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   y   \mathrm{g} \left( \, x \, \right)   y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.


Imagen:AreaEntreGraficas.gif


El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   \mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right)   y el eje X.


Para calcular el área comprendida entre la función \mathrm{h}   y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


  1. 1. En primer lugar resolvemos la ecuación:

\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = 0

para obtener n soluciones   x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n   con

x_1 < x_2 < \ldots < x_n

  1. 2 Buscamos una primitiva   \mathrm{H} \left( \, x \, \right)   de   \mathrm{h} \left( \, x \, \right) .

    1. 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la

    fórmula:

    \text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_2 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_3 \, \right) \, \right| + \ldots + \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{n-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( \, x_n \, \right) \, \right| </pre> <p>

    donde

    \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_i \, \right) \, \right| </pre> <p>

    es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   x = x_{i-1} ,   x = x_i ,   el eje X y la grafica de la función \mathrm{h} .


    Ejemplo


    Calculemos el área comprendida entre las graficas de   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3   y   \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x .


    El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   \mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - x   y el eje X.


    Para calcular el área comprendida entre la función \mathrm{h}   y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


    1. 1. En primer lugar resolvemos la ecuación:

    \mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x

    para obtener 3 soluciones   x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1 .

    1. 2 Una primitiva   \mathrm{H} \left( \, x \, \right)   de   \mathrm{h} \left( \, x \, \right)   es

      \mathrm{H} \left( \, x \, \right) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}


      1. 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:

      \text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_2 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_3 \, \right) \, \right| = </pre> <p>

      \left| \, \mathrm{H} \left( \, -1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, 0 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, 0 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, 1 \, \right) \, \right| = </pre> <p>

      </p> <pre>= \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \, \right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \, \right)^2}{2} \, \right) \right| + </pre> <p>\left| \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \, </p> <pre> \right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 1 \, \right)^2}{2} \, \right) \right| = \frac{1}{2} </pre> <p>


      Volumen de un cuerpo de revolución


      Al girar un trozo de la grafica de una función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]   alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular.



      Si dividimos el intervalo   \left[ \, a, \, b \, \right]   en n subintervalos iguales, entonces podemos aproximar el area del cuerpo de revolución por

      \sum_{i=1}^n \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

      donde   x_i   es el limite superior y  x_{i-1}   es el limite inferior del i-esimo subintervalo.



      El producto

      \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

      es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X y cuyas bases estan en los planos de ecuación  x = x_{i-1}   y   x = x_i ,  respectivamente.


      Notese que   x_i - x_{i-1} = \frac{b - a}{n}   y que   x_n = b, \, x_0 = a .


      Para cada   i = 1, \, 2, \, \ldots n   tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos calcular. Cuando hacemos tender n a \infty obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral

      .

      \text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


      Ejemplo


      Consideremos el cuerpo de revolución formado por la función constante

      \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5

      Al hacer girar el trozo de la grafica de \mathrm{f} entre   x = 0   y   x = 7   ontenemos un cuerpo de revoluci\'on ( un cilindro de radio 5 y altura 7 ).


      Utilizando la formula anterior se llega a que

      \text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_0^7 \pi \cdot 5^2 \cdot \mathrm{d}x = \pi \cdot 5^2 \cdot \left[ \, x \, \right]_0^7 = \pi \cdot 5^2 \cdot 7

      que coincide con el resultado que se obtiene con la f\'ormula del volumen de un cilindro:

      \text{Volumen} = \pi \cdot \text{Radio}^2 \cdot \text{Altura}

      Obtenido de "http://wikillerato.org/C%C3%A1lculo_de_%C3%A1reas_y_vol%C3%BAmenes.html"
         
 
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