Propiedades de las derivadas

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Revisión de 18:37 2 ene 2011

Tabla de contenidos

1 Derivada una función constante
- 1.1 Ejemplo
2 Derivada de una suma de funciones
3 Derivada de una diferencia de funciones
- 3.1 Ejemplo
4 Derivada de un producto de funciones
- 4.1 Ejemplo
5 Derivada de un cociente de funciones
- 5.1 Ejemplo

Derivada una función constante

La derivada de una función constante es cero.

Ejemplo

Si $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 2, \, \forall x \in \mathbb{R}$ , entonces

$\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) = 0, \, \forall x \in \mathbb{R}$

Derivada de una suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:

Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:

\left( \, \mathrm{f}_1 + \mathrm{f}_n + \ldots + \mathrm{f}_n \, \right) = \mathrm{f}_1^\prime + \mathrm{f}_n^\prime + \ldots + \mathrm{f}_n^\prime

Derivada de una diferencia de funciones

La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:

Ejemplo

$\left( <pre> \, x^2 + x \, </pre> \right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime + \left( \, x \, \right)^\prime = 2x + 1$

Derivada de un producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones, $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ , viene dada por la fórmula:

Ejemplo

$\left( <pre> \, x^2 \cdot x \, </pre> \right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot x + x^2 \cdot \left( \, x \, \right)^\prime = 2x \cdot x + x^2 \cdot 1 = 3x^2$

Observese que $x^2 \cdot x = x^3$ y que la derivada de $x^3$ es precisamente $3x^2$ .

Derivada de un cociente de funciones

La derivada del cociente $\frac{f}{g}$ viene dada por la fórmula:

Ejemplo

$\left( <pre> \, \frac{x^2}{e^x} \, </pre> \right) ^\prime \, = \, \frac{\left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot e^x - x^2\cdot\left( <pre> \, e^x \, \right)^\prime}{\left( \, e^x \, \right)^2} = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x }{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x} </pre> $