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Esperanza matemática
De Wikillerato
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| - | <math>E[X] = \int_{\infty}^{-\infty} | + | <math>E[X] = \int_{\infty}^{-\infty} x f(x) dx</math> |
Revisión de 22:02 8 may 2011
Sea 
una variable aleatoria, el "Valor Esperado" o "Esperanza Matemática" de dicha variable es el número representado como ![E[X]](/images/math/math-44d1a318082b09db3efb8767c25e8043.png "E[X]")
y que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Caso discreto
En caso que sea una variable aleatoria discreta con valores 
y sus probabilidades estén representadas por la función de probabilidad 
, la esperanza se calcula como:
![E[X] = x_{1} p( x_{1} ) + x_{2} p( x_{2} ) + ... + x_{n} p( x_{n} ) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} p(x_{i})](/images/math/math-64fae95964ef1eedc7d1082c2698e2e7.png "E[X] = x_{1} p( x_{1} ) + x_{2} p( x_{2} ) + ... + x_{n} p( x_{n} ) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} p(x_{i})")
Caso continuo
En caso en que sea una variable aleatoria continua, la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad 
:
![E[X] = \int_{\infty}^{-\infty} x f(x) dx](/images/math/math-0a57975c9369e480470e96ae154b4ffc.png "E[X] = \int_{\infty}^{-\infty} x f(x) dx")
Propiedades de la Esperanza:
Para poder operar con la esperanza debemos conocer sus propiedades. Sean e 
dos variables aleatorias, y 
una constante, se pueden aplicar las siguientes operaciones:
![E[c] = c](/images/math/math-85b6119359747b2b702ddeec9aa97eed.png "E[c] = c")
![E[cX] = cE[X]](/images/math/math-b7f81e3a2a99ee4815b0c6ffa99bbf25.png "E[cX] = cE[X]")
Ejemplo:
Representemos con la variable aleatoria que representa una tirada con un dado de 6 caras. Los posibles valores de son 
y 
todos ellos con la misma probalibilidad 
, la esperanza de es:
![E[X] = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = 3.5](/images/math/math-3f6a6b109ad65e509adaeb7d972240cd.png "E[X] = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = 3.5")
