Problemas de distancias

De Wikillerato

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Revisión de 18:36 29 jun 2011

Now I feel stupid. That's claered it up for me

Tabla de contenidos

1 Distancia de un punto a un plano
- 1.1 Ejemplo
2 Distancia de una recta a un plano
3 Distancia entre dos rectas
4 Distancia entre dos planos

Distancia de un punto a un plano

Sea $\pi$ un plano con vector normal $\mathbf{n}$ y al que pertenece el punto $Q$ .

La distancia de un punto $P$ al plano $\pi$ es la longitud de la proyección del vector $\vec{PQ}$ en la dirección normal al plano $\pi$ , que se puede calcular mediante la fórmula:

$\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| </p> <pre> \, \mathbf{n} \, \right|}} </pre> <p>$

Ejemplo

Calculemos la distancia del punto $P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)$ al plano $\pi$ de ecuación:

$x - y - z = 9$

Un vector normal al plano $\pi$ es el vector

$\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -1, \, -1 \, \right)$

Para encontrar un punto $Q$ del plano $\pi$ damos valores a $x$ y a $y$ en la ecuación del plano $\pi$ , por ejemplo, $x = y = 1$ , y despejamos $z$ , lo que nos da una ecuación en $z$ :

$1 - 1 - z = 9$

cuya solución es:

$z = -9$

Por lo tanto $Q = \left( \, 1, \, 1, \, -9 \, \right)$ es un punto del plano $\pi$ .

La distancia de $P$ a $\pi$ es

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Distancia de una recta a un plano

Sea $r$ una recta paralela a un plano $\pi$ .

Para calcular la distancia de $r$ a $\pi$ lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto $P$ en la recta $r$ y calcular la distancia de este punto al plano $\pi$ .

Distancia entre dos rectas

Para calcular la distancia entre dos rectas, $r$ y $s$ , que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas, $\mathbf{u}_r$ y $\mathbf{u}_s$ , y un par de puntos, $P$ y $Q$ , en $r$ y en $s$ , respectivamente.

A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector $\vec{PQ}$ en la dirección normal a un plano paralelo a $r$ y a $s$ . Esta dirección es la del vector

$\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s$

La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula

$\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|} {\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}$

Distancia entre dos planos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, $\pi_1$ y $\pi_2$ , se coge un punto de $\pi_1$ y se calcula la distancia de este punto al plano $\pi_2$ .