Circunferencia

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Revisión de 11:27 30 jun 2011

Definición

Llamamos lugar geométrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama radio.

Ecuación

Para obtener la ecuación de la circunferencia consideramos un sistema de referencia ortonormal en el plano (con sus ejes de coordenadas y origen).

Si $C \, = \, \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ es el centro de la circunferencia de radio $r$ y $P \, = \, \left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right)$ es un punto cualquiera de ella, entonces se verifica que la distancia de $P$ a $C$ es $r$ , por tanto:

$\sqrt { <pre> \left( \, x \, - \, a \, \right) ^2 \, + \, \left( \, y \, - \, b \, \right) ^2 </pre> } \, = \, r$

Elevando al cuadrado, obtenemos la ecuación de la circunferencia:

$ <pre>\left( \, x \, - \, a \, \right) ^2 \, + \, \left( \, y \, - \, b \, \right) ^2 \, = \, r^2 </pre> $

Ejemplo

Supongamos que nos dan la siguiente ecuación de una circunferencia:

$x^2 \, + \, y^2 \, + \, 4 \cdot x \, - \, 6 \cdot y \, - \, 12 \, = \, 0$

y nos piden calcular el radio y el centro de la misma. Como hemos visto anteriormente, la ecuación de una circunferencia de centro $C \, = \, \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ y radio $r$ se puede escribir de la forma:

$ <pre>\left( \, x \, - \, a \, \right) ^2 \, + \, \left( \, y \, - \, b \, \right) ^2 \, = \, r^2 </pre> $

Si pasamos $r^2$ al otro lado del signo igual, desarrollamos los cuadrados y agrupamos los terminos independientes obtenemos: