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Problemas de distancias

De Wikillerato

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Now we know who the sensilbe one is here. Great post!
==Distancia de una recta a un plano==
==Distancia de una recta a un plano==
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Revisión de 08:02 4 jul 2011

Tabla de contenidos

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   y   P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)   es

\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = \sqrt{ </p> <pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 + \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 + \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 </pre> <p>}


Distancia entre un punto y una recta


La distancia de un punto P a una recta r es la distancia entre P y su proyeccion P^\prime en la recta r .


Imagen:dcPnLi.png


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)   a la recta r de ecuaciones


r: \left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} 0 = x - 2y + 3z \\ 0 = 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.


Sea   P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   la proyección del punto P en la recta r . Queremos calcular la distancia de P a P^\prime y para ello necesitamos conocer P^\prime .


Para hallar P^\prime vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta r y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector

\vec{PP^\prime} = \left( </p> <pre> \, x, \, y, \, z \, </pre> <p>\right) - \left( </p> <pre> \, 2, \, 1, \, 0 \, </pre> <p>\right)

por un vector director de la recta r . El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por P y P^\prime es perpendicular a la recta r ).


Podemos obtener un vector director \mathbf{u} de la recta r multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano \pi_1 por un vector perpendicular al plano \pi_2 .

Un vector \mathbf{n}_1 perpendicular al plano \pi_1 lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de \pi_1 :

\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector \mathbf{n}_2 perpendicular al plano \pi_2 :

\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, \mathbf{n}_1 y \mathbf{n}_2 es


\mathbf{u} = \left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)


donde

\begin{array}{ll} </p> <pre> \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right) </pre> <p>\end{array}


El producto escalar de \mathbf{u} por   \vec{PP^\prime }   es


\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} x - 2 & y - 1 & z - 0 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, x - 2, \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 </p> <pre> \, \right) = </pre> <p>

= 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \, \right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0 \right|


donde la primera fila del determinante es el vector   \vec{PP^\prime } .


El punto P^\prime es, pues, la solución del sistema de ecuaciones


\left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} 0 = 3x + 6y + 3z -12 \\ 0 = x - 2y + 3z \\ 0 = 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.


Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que


0 = 9y - 16


con lo cual   y = \frac{16}{9} .   Sustituyendo y por \frac{16}{9} en la tercera ecuación del sistema y despejando x se llega a que

x = \frac{y}{2} - 2 = \frac{8}{9} - 2 = -\frac{10}{9}


Finalmente, sustituyendo y por \frac{16}{9} y x por   \frac{-10}{9}   en la segunda ecuación del sistema y despejando z se llega a que

z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \, </p> <pre> 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{10}{9} \, \right) = \frac{42}{27} = \frac{14}{9} </pre> <p>

La distancia de P a r coincide con la distancia de P a P^\prime y esta es:


\sqrt{\left( \, 2 - \left( \, -\frac{10}{9} \, \right) \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 - </p> <pre> \frac{14}{9} \, \right)^2} </pre> <p>


Distancia de un punto a un plano


Sea \pi un plano con vector normal \mathbf{n} y al que pertenece el punto   Q .


La distancia de un punto P al plano \pi es la longitud de la proyección del vector \vec{PQ} en la dirección normal al plano \pi , que se puede calcular mediante la fórmula:

\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| </p> <pre> \, \mathbf{n} \, \right|}} </pre> <p>


Imagen:dcPnPlg.png


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Distancia de una recta a un plano


Sea r una recta paralela a un plano \pi .


Para calcular la distancia de r a \pi lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto P en la recta r y calcular la distancia de este punto al plano \pi .


Distancia entre dos rectas


Para calcular la distancia entre dos rectas, r y s , que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas,   \mathbf{u}_r   y   \mathbf{u}_s , y un par de puntos,   P   y   Q ,   en r y en s , respectivamente.


A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector \vec{PQ} en la dirección normal a un plano paralelo a r y a s . Esta dirección es la del vector


\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s

La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula


\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|} {\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}


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