Números racionales

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

1 Definición de número racional
- 1.1 Definición formal
2 Construcción de los números racionales
- 2.1 Suma y multiplicación en Q
- 2.2 Notación
3 Propiedades de los números racionales
- 3.1 Propiedades de la suma y multiplicación
- 3.2 El conjunto de los números decimales en Q
4 Representación decimal de los números racionales

Definición de número racional

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común).

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante de dicho número racional a la [fracción irreducible].

$\frac{3}{4}\ = \left\{ \frac{6}{8}, \frac{9}{12}, \frac{54}{72}, ... \right\} = 0'75 \in\mathbb{Q}$

Definición formal

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).

El conjunto de los números racionales se denota por $\mathbb{Q}$ , que significa «cociente». Este conjunto de números incluye a los número enteros $\mathbb{N}$ , y es un subconjunto de los números reales $\mathbb{R}$ .

Construcción de los números racionales

Consideremos las parejas de números enteros $\left( a,b\right)$ donde $b\neq 0$ .

$\frac{a}{b}$ denota a $\left( a,b\right)$ . A $a \,$ se le llama numerador y a $b \,$ se le llama denominador

Al conjunto de estos números se le denota por $\mathbb{Q}$ . Es decir $\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}$

Suma y multiplicación en Q

Se define la suma $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$

Se define la multiplicación $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Notación

Los números de tipo $\frac{-a}{b}$ son denotados por $-\frac{a}{b}$

Las sumas de tipo $\frac{a}{b}+\frac{-c}{d}$ son denotadas por $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}$

$\frac{a}{b}\left(\frac{c}{d}\right)$ denota a $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}$

Todo número $\frac{p}{1}$ se denota simplemente por $p \,$ . Dichos números conforman el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ , y están incluidos en el conjunto de los números racionanes $\mathbb{Q}$

Propiedades de los números racionales

El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.

Propiedades de la suma y multiplicación

La suma en Q es conmutativa, esto es: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}$
La suma en Q es asociativa, esto es: $\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\right)+\frac{c}{d}$
La multiplicación en Q es asociativa, esto es: $\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\times\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\times\frac{p}{q}$
La multiplicación se distribuye en la suma, esto es $\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}\right)$

El conjunto de los números decimales en Q

Un número decimal es un número racional de la forma $\frac{a}{10^n}$
$\mathbb{D}$ denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir $\mathbb{D}=\left\{\frac{a}{10^n}\mid \frac{a}{10^n}\in\mathbb{Q}\right\}$
Expresión Racional de un número decimal: el número $a$ en base $10$ con un punto a $n$ lugares del extremo derecho, por ejemplo $\frac{178}{10^2}$ se denota como $1.78$

Representación decimal de los números racionales

Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:

Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

$\frac 8 5 = 1,6$

Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

$\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0,142857142857\dots\\&=&0,\overline{142857}\end{array}$

Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

$\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0,01666\dots\\&=&0,01\overline{6}\end{array}$

Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo: $34,65 = \frac{3465}{100}$
Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo: $15,3434\dots=\frac{1534-15}{99}$
Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre $a$ y $b$ , donde $a$ es el número escrito sin la coma, y $b$ es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número $12,345676767\dots$ entonces $a=1234567 \,$ y $b=12345 \,$ , por lo que el número buscado será ${1234567-12345}\over{99000}$ .