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Logaritmos

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Página nueva: En matemáticas, el '''logaritmo''' de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número del que queremos cal...)
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::<math> \!\, \sqrt[x]{y} = y^\frac{1}{x} \,</math>
::<math> \!\, \sqrt[x]{y} = y^\frac{1}{x} \,</math>
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== Elección de la base ==
== Elección de la base ==
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*Se llaman '''logaritmos neperiano''' (''ln'') al logaritmo en base '''e'''; donde e ≈ 2,71828...
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*Se llaman '''logaritmos neperianos''' (''ln'') al logaritmo en base '''e'''; donde e ≈ 2,71828...
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*Los logaritmos de base 10, son aquellos en que la base es 10. Fueron inventados y desarrollados por [[Henry Briggs]].
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*Los logaritmos de base 10, son aquellos en que la base es 10.
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Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Ejemplo: <math>10^3=1000\,</math> luego <math>Log_{10}1000=3\,</math>.
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Estos dos son los logaritmos mas comunues, y funcionarían como ya hemos descrito:
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Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Para indicar logaritmos en base ''e'' se usa ''ln''.
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<math>log_{10}(100) = 2 \Leftrightarrow 10^2 = 100</math><br>
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<math>log_e(148.4131591025766) = ln(148.4131591025766) = 5\Leftrightarrow e^5 = 148.4131591025766</math><br>
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Pero también podemos calcular logaritmos de calquier número en cualquier base:
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<math>log_2(16) = 4\Leftrightarrow 2^4 = 116</math><br>
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=== Cambio de base ===
=== Cambio de base ===
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Son comunes los logaritmos en base [[Número e|e]] (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 ([[logaritmo binario]]), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al ''logaritmo de x en base b'' (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):
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Entonces son comunes los logaritmos en base '''e''' (logaritmo neperiano), base '''10''' (logaritmo común), base '''2''' (logaritmo binario)... La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es determinante, ya que todos son proporcionales entre sí.
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Es útil la siguiente fórmula que define al ''logaritmo de x en base b'' (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):
<math>\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!\,</math>
<math>\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!\,</math>
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En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como <math>\log(x)\,\!\,</math>, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada [[pH]]) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad ([[candela]]), del sonido([[Decibelio|dB]]), de la energía de un terremoto ([[escala sismológica de Richter]]), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.
En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como <math>\log(x)\,\!\,</math>, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada [[pH]]) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad ([[candela]]), del sonido([[Decibelio|dB]]), de la energía de un terremoto ([[escala sismológica de Richter]]), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.
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== Definición analítica ==
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set terminal png small transparent
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set size 0.4, 0.4
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plot log(x)
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== Definición analítica ==
 
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{{AP|Logaritmo natural}}
 
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[[Archivo:Logaritmo función1.png|frame|En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la representación de las rectas tangentes a la función en x = ''e'' (T<sub>e</sub>) y en x = 1 (T<sub>1</sub>).]]
 
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Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la [[función primitiva]] de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones:
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Podemos introducir la función logarítmica como una función y estudiarla como tal. esta función no tiene ni máximos pero si tiene una asíntota en '''x = 0''', este es el motivo por el que el logaritmo de un número negativo no está definido. Ahora estudiaremos todas sus propiedades.
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# La [[función derivada|derivada]] de la función <math>f(x) = x^n \,\!\,</math> es <math>f^\prime(x) = nx^{n-1} \,\!\,</math>. Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de <math>x^m \,\!\,</math> es <math>{x^{m+1}}/{m+1}\,</math> (con <math>m = n - 1\,</math>).
 
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# Este cálculo obviamente no es válido cuando <math>m = - 1\,</math>, porque no se puede [[División por cero|dividir por cero]]. Por lo tanto, la función inversa <math>1/x\,</math> es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".
 
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# Sin embargo, la función <math>1/x\,</math> es continua sobre el rango <math>(0, + \infty)\,</math> lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre <math>(- \infty, 0)\,</math>.
 
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A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:
 
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{{ecuación|
 
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<math>[\ln(x)]^\prime = \frac {1}{x}, \qquad \ln (1) = 0\,</math>
 
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||left}}
 
=== Propiedades de la función logarítmica ===
=== Propiedades de la función logarítmica ===
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# La tangente <math>T_1\,</math> que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: <math>y = x - 1\,</math>.
# La tangente <math>T_1\,</math> que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: <math>y = x - 1\,</math>.
# La derivada de segundo orden es <math>\ln^{\prime\prime} (x) = {-1}/{x^2}\,</math>, siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( <math>\swarrow\,</math> ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con <math>T_1\,</math> y <math>T_e\,</math>.
# La derivada de segundo orden es <math>\ln^{\prime\prime} (x) = {-1}/{x^2}\,</math>, siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( <math>\swarrow\,</math> ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con <math>T_1\,</math> y <math>T_e\,</math>.
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# La función logaritmo neperiano es la [[función recíproca|inversa]] de la [[función exponencial]]: <math>f(x) = e^x\;\,</math>.
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# La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial: <math>f(x) = e^x\;\,</math>.
== Propiedades generales ==
== Propiedades generales ==
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# Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea ''u'', es siempre <math>e^u > 0\,</math> (o <math>10^u > 0\,</math>) y en consecuencia no hay ningún valor de ''u'' que pueda satisfacer <math>e^u = x\,</math> cuando <math>x<0\,</math>, sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos recurriendo a la [[fórmula de Euler]].
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# Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea ''u'', es siempre <math>e^u > 0\,</math> (o <math>10^u > 0\,</math>) y en consecuencia no hay ningún valor de ''u'' que pueda satisfacer <math>e^u = x\,</math> cuando <math>x<0\,</math>, sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos.
# El logaritmo de su base es 1. Así <math>\log_b b=1\,</math> ya que <math>b^1=b\,</math>.
# El logaritmo de su base es 1. Así <math>\log_b b=1\,</math> ya que <math>b^1=b\,</math>.
# El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así <math>\log_b 1=0\,</math> ya que <math>b^0=1\,</math>.
# El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así <math>\log_b 1=0\,</math> ya que <math>b^0=1\,</math>.
# Si 0<''A''<1 entonces <math>\log_b A\,</math> es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente.
# Si 0<''A''<1 entonces <math>\log_b A\,</math> es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente.
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# Las potencias consecutivas de una base forman una [[progresión geométrica]] y la de los exponentes una [[progresión aritmética]]. Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que <math>2^0=1\,</math>, <math>2^1=2\,</math>, <math>2^2=4\,</math>, <math>2^3=8\,</math>, y <math>2^4=16\,</math> etc. Luego <math>\log_2 1=0\,</math>, <math>\log_2 2=1\,</math>, <math>\log_2 4=2\,</math>, <math>\log_2 8=3\,</math> y <math>\log_2 16=4\,</math> etc.
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# Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que <math>2^0=1\,</math>, <math>2^1=2\,</math>, <math>2^2=4\,</math>, <math>2^3=8\,</math>, y <math>2^4=16\,</math> etc. Luego <math>\log_2 1=0\,</math>, <math>\log_2 2=1\,</math>, <math>\log_2 4=2\,</math>, <math>\log_2 8=3\,</math> y <math>\log_2 16=4\,</math> etc.
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== Logaritmos decimales ==
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Los logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.
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* Se denomina [[característica (logaritmos)|característica]] a la parte entera del logaritmo.
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* Se denomina [[mantisa]] a la parte fraccionaria (que puede ser cero).
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# La característica de un número comprendido entre 1 y 10 (excluido este) es cero. Es lógico ya que <math>Log_{10} 1=0\,</math> y <math>Log_{10} 10=1\,</math> entonces los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica.
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# La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc.
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# La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva.
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# La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva.
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Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C,mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.
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== Extensiones ==
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Es posible extender el concepto de ''logaritmo'' más allá de los reales positivos.
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=== Números reales ===
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Para [[número entero|enteros]] ''b'' y ''x'', el número <math>log_b(x)\,</math> es [[número irracional|irracional]] (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si ''b'' o ''x'' tienen un [[factorización|factor primo]] que el otro no tiene.
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El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse introduciendo números complejos.
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Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.
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=== Números complejos ===
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El logaritmo natural de un número complejo ''z'' es otro número complejo ''b'' = ln(''z'') que sea solución de la ecuación:
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{{Ecuación|<math>z = e^b\;\,</math>|*|left}}
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La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo ''z'' escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación {{Eqnref|*}} es ''b''<sub>0</sub>:
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{{Ecuación|<math>b_0 = \ln \rho + i \theta \qquad \mbox{con}\ z = \rho e^{i\theta}\,</math>||left}}
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Puede comprobarse que ésta no es la única solución, sino que para cualquier valor <math>k\in\mathbb{Z}\,</math> resulta que el número complejo ''b<sub>k</sub>'', definido a continuación, también es solución:
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{{Ecuación|<math>b_k = \ln \rho + i\theta + 2\pi ki \qquad \Rightarrow e^{b_k} = \rho e^{i\theta}\cdot e^{2\pi ki} = z\,</math>||left}}
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De hecho cada valor particular de ''k'' define una [[superficie de Riemann]].
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Revisión de 09:36 9 oct 2011

En matemáticas, el logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número del que queremos calcular el logaritmo. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, los logaritmos son la operación inversa a la potencias.

Tabla de contenidos

Definición

Dados dos números cualquiera (x , n) la operación logaritmo log_n(x) tendrá como resultado otro número y; cuyo valor es'el número al que hay que elevar y para que:
log_n(x) = y \Leftrightarrow n^y = x

  • La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 (b>0, b \ne 1)\,.
  • x tiene que ser un número positivo (x>0)\,.
  • n puede ser cualquier número real (n\in\mathbb{R})\,.


Por ejemplo: log_10(1000) = 3 \Leftrightarrow 10^3 = 1000
Entonces, en la expresión 103 = 1000, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3.


Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

  • El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
\!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b) \,
  • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
\!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b) \,
  • El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
\!\, \log(a ^ x) = x \log(a) \,
  • El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
\!\, \log(\sqrt[x]{y}) = \frac{\log(y)}{x} \,

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

\!\, \sqrt[x]{y} = y^\frac{1}{x} \,


Elección de la base

  • Se llaman logaritmos neperianos (ln) al logaritmo en base e; donde e ≈ 2,71828...
  • Los logaritmos de base 10, son aquellos en que la base es 10.

Estos dos son los logaritmos mas comunues, y funcionarían como ya hemos descrito:

log_{10}(100) = 2 \Leftrightarrow 10^2 = 100
log_e(148.4131591025766) = ln(148.4131591025766) = 5\Leftrightarrow e^5 = 148.4131591025766

Pero también podemos calcular logaritmos de calquier número en cualquier base:

log_2(16) = 4\Leftrightarrow 2^4 = 116



Cambio de base

Entonces son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario)... La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es determinante, ya que todos son proporcionales entre sí.

Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!\,

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \,\!\,

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como \log(x)\,\!\,, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.


Definición analítica

GnuplotBasic Plot


Podemos introducir la función logarítmica como una función y estudiarla como tal. esta función no tiene ni máximos pero si tiene una asíntota en x = 0, este es el motivo por el que el logaritmo de un número negativo no está definido. Ahora estudiaremos todas sus propiedades.


Propiedades de la función logarítmica

  1. El dominio de la función \ln(x)\, definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.
  2. \ln\,(x)\, es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.
  3. Tiene límites infinitos en 0^+\, y en +\infty\,.
  4. La tangente T_e\, que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
  5. La tangente T_1\, que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x - 1\,.
  6. La derivada de segundo orden es \ln^{\prime\prime} (x) = {-1}/{x^2}\,, siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( \swarrow\, ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T_1\, y T_e\,.
  7. La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial: f(x) = e^x\;\,.

Propiedades generales

  1. Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea u, es siempre e^u > 0\, (o 10^u > 0\,) y en consecuencia no hay ningún valor de u que pueda satisfacer e^u = x\, cuando x<0\,, sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos.
  2. El logaritmo de su base es 1. Así \log_b b=1\, ya que b^1=b\,.
  3. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así \log_b 1=0\, ya que b^0=1\,.
  4. Si 0<A<1 entonces \log_b A\, es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente.
  5. Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que 2^0=1\,, 2^1=2\,, 2^2=4\,, 2^3=8\,, y 2^4=16\, etc. Luego \log_2 1=0\,, \log_2 2=1\,, \log_2 4=2\,, \log_2 8=3\, y \log_2 16=4\, etc.
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