Razón simple y razón doble de puntos alineados

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:32 10 nov 2011

Tabla de contenidos

1 Razón simple y razón doble de puntos alineados
2 Escalas
3 Semejanza

Razón simple y razón doble de puntos alineados

En primer lugar definimos el concepto de segmentos orientados. Son positivos los segmentos cuya nomenclatura indica un sentido, siguiendo el orden alfabético y son negativos cuando indica el sentido contrario.

Por ejemplo: si AB es positivo, BA será negativo.

La razón simple y la razón doble operan con segmentos orientados.

Razón simple

Se llama razón simple de tres puntos alineados A, B y C y se nota (ABC) a la siguiente igualdad: (ABC) = AB/AC, siendo AB y AC segmentos orientados.

Para construir una razón simple aplicamos lo aprendido en proporcionalidad directa:

Ejemplo de razón positiva: Dado un segmento AB, hallar el punto C que cumpla: (ABC) = 3.

Dibujamos el segmento AB y trazamos por A una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que AX = 3 (unidades arbitrarias) y un punto Y tal que AY = 1 (la unidad considerada).

Se cumple que:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AX}{AY} = \frac{3}{1}$ , luego $(ABC) = 3$

Ejemplo de razón negativa: Dado un segmento AB, hallar el punto C que cumpla:

$(ABC) = - \frac{p}{q}$ , siendo p y q segmentos dados.

Dibujamos el segmento AB y trazamos por A una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que AX = p y un punto Y tal que AY =q, teniendo en cuenta que AX y AY deben indicar sentidos contrarios para que la razón sea negativa.

Se cumple que:

$\frac{AB}{AC} = - \frac{AX}{AY} = -\frac{p}{q}$ , luego

$(ABC) = - \frac{p}{q}$

Razón doble

Se llama razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C y D y se nota (ABCD) a la siguiente igualdad:

$(ABCD) = \frac{(ACD)}{(BCD)} = \left (\frac{AC}{AD} \right ) : \left (\frac{BC}{BD} \right ) =$

$\left (\frac{AC}{AD} \right ) \cdot \left (\frac{BD}{BC} \right ) = \left (\frac{AC}{BC} \right ) \cdot \left (\frac{BD}{AD} \right )$

siendo $AC, AD, BC$ y $BD$ segmentos orientados.

Para construir una razón doble aplicamos lo aprendido en proporcionalidad directa:

Ejemplo de razón positiva:

Dados los puntos alineados A, B y C, hallar el punto D que cumpla: (ABCD) =p/q, siendo p y q segmentos dados.

Para resolver gráficamente estos problemas debemos combinar haces de rectas con los vértices en C y en D como se ve a continuación.

Trazamos por B una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que BX = p y un punto Y tal que BY = q.

Dibujamos la recta CY y trazamos una paralela a BY por A. Estas rectas se cortan en Z.

AZ = n

Se cumple que:

$\frac{q}{n} = \frac{BC}{AC}$

Por otra parte, la recta ZX corta a la recta dato en D.

Se cumple que:

$\frac{p}{n} = \frac{BD}{AD}$ , luego:

$(ABCD) = \frac{p}{q} = \left (\frac{BD}{AD} \right ) : \left ( \frac{BC}{AC} \right ) = \left ( \frac{AC}{BC} \right ) \cdot \left ( \frac{BD}{AD} \right )$

Ejemplo de razón negativa:

Dados los puntos alineados A, B y C, hallar el punto D que cumpla:

$(ABCD) = - \frac{p}{q}$ , siendo $p$ y $q$ segmentos dados.

Trazamos por A una recta. Sobre ella situamos un punto X, tal que AX = p y un punto Y tal que AY = q, teniendo en cuenta que los sentidos de AX y AY sean contrarios.

Dibujamos la recta CX y trazamos una paralela a AX por B. Estas rectas se cortan en Z. BZ = n.

Se cumple que: $\frac{p}{n} = \frac{AC}{BC}$

Por otra parte, la recta ZY corta a la recta dato en D.

Se cumple que: $\frac{q}{n} = \frac{AD}{-BD}$ , luego:

$(ABCD) =-\frac{p}{q} = \left ( \frac{AC}{BC}\right ) : \left ( \frac{AD}{BD}\right ) = \left ( \frac{AC}{BC} \right ) \cdot \left ( \frac{BD}{AD} \right )$

Cuaterna armónica

Se llama cuaterna armónica a la razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C y D que vale -1:

(ABCD) = -1

Ejemplo de cuaterna armónica:

Dados los puntos alineados A, B y C, hallar el punto D que cumpla:

ABCD) = -1

Trazamos por A una recta. Sobre ella situamos dos puntos X e Y, tal que AX = AY, teniendo en cuenta que los sentidos de AX y AY sean contrarios.

Dibujamos la recta CX y trazamos una paralela a AX por B. Estas rectas se cortan en Z.

BZ = n

Se cumple que:

$\frac{AX}{n} = \frac{AC}{BC}$

Por otra parte, la recta ZY corta a la recta dato en D.

Se cumple que:

$\frac{AY}{n} = \frac{AX}{n} = \frac{AD}{-BD}$ , luego:

$\frac{-AX}{n} = \frac{AD}{BD}$

$(ABCD) = \frac{AX}{-AX}= -1$

Escalas

Se llama escala a la razón entre una magnitud dibujada y su magnitud real.

E = magnitud de un segmento dibujado/ magnitud real del segmento.

Si nos dicen que el segmento AB, que mide 3 cm, representa una distancia de 300 Km y nos preguntan a qué escala está representado, aplicamos la definición: Escala = 3cm/ 300Km

A continuación igualamos las unidades:

$Escala = \frac{3cm}{300Km} = \frac{3cm}{30000000cm} = \frac{1}{10.000.000}$

Cuando una escala representa a los objetos reduciendo su tamaño se llama escala de reducción, cuando lo amplía, se llama escala de ampliación, cuando representa un objeto a tamaño real se llama escala real.

Se llaman escalas gráficas o escalas volantes a las reglas que nos permiten medir en las diferentes escalas.

Construcción de una escala gráfica de ampliación:

Si nos indican que el segmento AB representa 3mm, al dividirlo en 3 partes iguales tendremos el segmento que representa 1mm.

Con este segmento como unidad construimos nuestra escala.

A continuación construimos la contraescala dividiendo una unidad en 10 partes iguales. Así podremos medir décimas de milímetro.

Construcción de una escala gráfica de ampliación:

Si nos indican que el segmento AB representa 5Km, al dividirlo en 5 partes iguales tendremos el segmento que representa 1Km.

Con este segmento como unidad construimos nuestra escala.

A continuación construimos la contraescala dividiendo una unidad en 10 partes iguales. Así podremos medir hectómetros.

Construcción de una escala universal:

Es una construcción que nos permite dibujar muchas escalas.

Se construye un triángulo rectángulo isósceles ABC. Se divide cada uno de sus catetos en diez partes iguales. Se numeran los puntos obtenidos.

Se trazan rectas desde el vértice A, pasando por los puntos situados en BC.

Las paralelas a BC, trazadas desde los puntos obtenidos en AC, se intersecan con las rectas del haz formando distintas escalas gráficas, como puede verse en la figura.

Semejanza

Ya hemos visto que dos formas semejantes tienen los lados directamente proporcionales y los ángulos correspondientes iguales.

En la imagen vemos dos trapezoides semejantes. Si los situamos de modo que sus lados coincidan o sean paralelos entre sí podremos comprobar fácilmente dicha proporcionalidad directa:

$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{AD}{A'D'}$