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Teorema de Bayes
De Wikillerato
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A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \, | A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \, | ||
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| - | sucesos incompatibles, tales que siempre ocurre | + | sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos y la |
| - | cada uno de ellos es distinta de cero, y sea | + | probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea |
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B | B | ||
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\mathrm{P} | \mathrm{P} | ||
\left( | \left( | ||
| - | \, | + | \, B \, \left| \, A_i \, \right. |
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
| Línea 29: | Línea 29: | ||
\mathrm{P} | \mathrm{P} | ||
\left( | \left( | ||
| - | \, | + | \, A_i \, \left| \, B \, \right. |
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
| Línea 69: | Línea 69: | ||
\cdot \mathrm{P} | \cdot \mathrm{P} | ||
\left( | \left( | ||
| - | \, B \, \left| \, A_2 \, \ | + | \, B \, \left| \, A_2 \, \right. |
\, + \, \ldots \, + \, | \, + \, \ldots \, + \, | ||
\mathrm{P} | \mathrm{P} | ||
Revisión de 19:21 26 dic 2006
Tabla de contenidos |
Enunciado
Sean
sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos y la
probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea
un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales
.
Entonces las probabilidades
vienen dadas por la expresión:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Demostración
Por definición de probabilidad condicionada
despejando [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] , se tiene:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
La probabilidad
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
Ejemplo
Tenemos tres urna:
con tres bolas rojas y 5 negras,
con dos bolas rojas y una negra y
con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una
bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna
?
Llamamos
al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
