Sistemas de ecuaciones lineales

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Revisión de 11:34 28 dic 2006

Un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $\left( <pre> \, x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \, </pre> \right)$ es un conjunto formado por $m$ igualdades de la forma:

$\left. <pre> \begin{array}{c} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \dotfill \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{array} </pre> \right\}$

donde los $a_{ij}$ se llaman coeficientes y los $b_i$ , terminos independientes del sistema.

En los coeficientes $a_{ij}$ , el subindice $i$ indica la ecuación del sistema en la que aparece dicho coeficiente, y el subíndice $j$ señala de que incognita es coeficiente $a_{ij}$ .

El subindice $i$ que aparece en el término $b_i$ , indica la ecuación de la que $b_i$ es término independiente.

El sistema anterior de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incognitas se puede escribir matricialmente de la siguiente forma:

$\left( <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} </pre> \right) \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array} </pre> \right)$

De izquierda a derecha, la primera matriz, en la igualdad anterior es la matriz de los coeficientes y la llamaremos $A$ , la segunda matriz es la matriz de las incognitas y la llamaremos $X$ . La tercera es la matriz de los terminos indedependientes y la llamaremos $B$ .

Con esta notación, nuestro sistema de ecuaciones lineales se puede representar de la siguiente manera:

$A \cdot X \, = \, B$

La matriz ampliada es la matriz de los coeficientes, $A$ , a la que se añade la columna de los terminos independientes, $B$ :

$A|B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> \right| \begin{array}[c]{c} <pre> b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m </pre> \end{array} \right)$

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones. Al conjunto de todas las soluciones del sistema se le llama solución general, y a cada una de las soluciones que forman dicho conjunto, solución particular.

Serán soluciones del sistema todas las n-tuplas $\left( <pre> \, s_1, \, s_2, \, \ldots, \, s_n \, </pre> \right)$ tales que al sustituir $x_i$ por $s_i$ , para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ , todas las ecuaciones del sistema se conviertan en identidades.

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