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Función derivada de la composición de funciones

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x \, = \, a
 
-
</math>
 
-
, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^\prime
 
-
\left(
 
-
\, a \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
, si existe, es el valor del limite:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
 
-
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
 
-
</math>.
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Si &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^\prime
 
-
\left(
 
-
\, a \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es un número real, la función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es derivable en &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x \, = \, a
 
-
</math>.
 
-
Si &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^\prime
 
-
\left(
 
-
\, a \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; no es derivable en dicho punto.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Ejemplo==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Calculemos la derivada de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
\left(
 
-
\, x \,
 
-
\right)
 
-
\, = \, x^2
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x \, = \, 2
 
-
</math>:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^\prime
 
-
\left(
 
-
\, 2 \,
 
-
\right)
 
-
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
 
-
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
 
-
{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<math>
 
-
\, = \, \lim_{h \to 0}
 
-
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
 
-
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
 
-
\left(
 
-
\, h \, + 4 \, \,
 
-
\right)
 
-
\, = \, 4
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
[[Category:Matemáticas]]
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =tasas de variación
 
-
 
-
==Tasa de variación media==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
 
-
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
 
-
siguiente tabla:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
[[Imagen:tabla7.png]]
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
En este caso, la posición, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
y
 
-
</math>
 
-
, se puede ver como una función, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
, del tiempo, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x
 
-
</math>; es decir:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La '''''tasa de variación media''''' de la posición en el intervalo de tiempo desde el
 
-
instante &nbsp;
 
-
<math>
 
-
9
 
-
</math>
 
-
&nbsp; al instante &nbsp;
 
-
<math>
 
-
13.4
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
 
-
\right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
En general, la tasa de variación media de la función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left[
 
-
\, a, \, b \,
 
-
\right]
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se define como el cociente:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \,
 
-
\right)}{b \, - \, a}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Tasa de variación instantánea==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
f
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x \, = \, a
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se obtiene haciendo tender &nbsp;
 
-
<math>
 
-
b
 
-
</math>
 
-
&nbsp; a &nbsp;
 
-
<math>
 
-
a
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en la '''''tasa de variación media''''' de la función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
f
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en el intervalo &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left[
 
-
\, a, \, b \,
 
-
\right]
 
-
</math>; por tanto, la '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
f
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x \, = \, a
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
que es precisamente la [[Definición de derivada|derivada]] de la función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
f
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x \, = \, a
 
-
</math>.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
NOTA: En el límite anterior &nbsp;
 
-
<math>
 
-
b \, = \, a \, + \, h
 
-
</math>.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
[[Category:Matemáticas]]
 
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =Derivadas de las funciones elementales
 
-
 
-
<center>
 
-
[[Imagen:tablaDeDerivadas.png]]
 
-
</center>
 
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =función derivada
 
-
 
-
Si &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es una función derivable en el intervalo &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, a, \, b \,
 
-
\right)
 
-
\subset R
 
-
</math>
 
-
, la '''''función derivada''''' de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la que a cada &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x \in
 
-
\left(
 
-
\, a, \, b \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; le hace corresponder la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en dicho punto. Esta función se designa por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
 
-
</math>.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Una función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es '''''derivable''''' en el intervalo &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, a, \, b \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; si lo es en cada punto del intervalo.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Llamamos '''''derivada de segundo orden''''' de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; a la función derivada de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^\prime
 
-
</math>.
 
-
Esta función se denota por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^{\prime \prime}
 
-
</math>.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^{\prime \prime \prime}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la '''''derivada tercera''''' de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y, en general, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la '''''derivada n-ésima''''' de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>: &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la función derivada de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}^{\left( \, n \, - \, 1 \, \right)}
 
-
</math>.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
[[Category:Matemáticas]]
 
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =significado geométrico de la derivada
 
-
 
-
Consideremos la grafica de una función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
. Tomemos un punto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A \, = \,
 
-
\left(
 
-
\, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en la grafica de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y que cuando &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n \to \infty
 
-
</math>
 
-
, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A_n \to A
 
-
</math>.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La recta que pasa por los puntos &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es una secante a la grafica de la función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>. De esta forma, hay una secante para cada punto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A_n
 
-
</math>. Sea &nbsp;
 
-
<math>
 
-
s_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; la recta que pasa por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A_n
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
[[Imagen:tangente.png]]
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Cuando &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; tiende a &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\infty
 
-
</math>
 
-
, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
s_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
t
 
-
</math>:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
s_n \to t
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Habria de esperar, pues, que la pendiente de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
s_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; tienda a la pendiente de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
t
 
-
</math>
 
-
&nbsp; cuando &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; tiende a &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\infty
 
-
</math>. Como la pendiente de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
s_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación
 
-
media]]:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
 
-
\right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
(<math>
 
-
A_{n,x} \, =
 
-
</math>
 
-
&nbsp; abcisa de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A_n
 
-
</math>)
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
su limite cuando &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n \to \infty
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación instantánea]], la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A_x
 
-
</math>; es decir la pendiente de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
t
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la derivada de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A_x
 
-
</math>.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
[[Category:Matemáticas]]
 
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones
 
-
 
-
__TOC__
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Derivada de la suma==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la suma de dos funciones es
 
-
igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
 
-
\right)
 
-
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Derivada de la diferencia==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la diferencia de dos funciones es
 
-
igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
 
-
\right)
 
-
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Derivada del producto==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del producto de dos funciones,
 
-
&nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{g}
 
-
</math>
 
-
, viene dada por la fórmula:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
 
-
\right)
 
-
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Derivada del cociente==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del cociente &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\frac{f}{g}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; viene dada por la fórmula:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\, \frac{f}{g} \,
 
-
\right)
 
-
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
[[Category:Matemáticas]]
 
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =composición de funciones
 
-
 
El componer dos funciones &nbsp;
El componer dos funciones &nbsp;
<math>
<math>

Revisión de 16:39 12 ene 2007

El componer dos funciones   \mathrm{f}   y   \mathrm{g}   consiste en aplicar   g   al resultado de calcular   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) , es decir:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)


La derivada de   \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)   viene dada por la fórmula: 


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


resultado que se conoce como regla de la cadena.


Obtenido de "http://wikillerato.org/Funci%C3%B3n_derivada_de_la_composici%C3%B3n_de_funciones.html"
   
 
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