Oscilador armónico

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Ecuación del movimiento oscilatorio

Obtendremos la ecuación del movimiento por tres procedimientos distintos:

de la curva que describen las oscilaciones del resorte en función del tiempo
de la analogía con el movimiento de la ordenada de un punto P que describe un movimiento circular uniforme
por procedimientos analíticos

1. Vía experimental:

Si se introduce rápidamente el polo norte de un imán en el cuerpo de una bobina conectada a una vía de un osciloscopio conectada en barrido, se observa que la señal del osciloscopio, antes horizontal, presenta un pico. Si sacamos el imán rápidamente, aparecerá un pico, pero esta vez de sentido contrario. Este último sentido será el del pico que aparece si introducimos el polo sur con rapidez. Si sacamos el sur ràpidamente el pico será el mismo que cuando introdujimos el polo norte.

Esto nos muestra, como ya se verá en otro lugar, que cuando un imán se mueve con una cierta velocidad en el seno de una bobina, crea sobre esta una corriente cuya variación nos vendrá dada por la curva que aparezca en el osciloscopio.

Pero veamos qué se obtiene cuando soldamos un imán al extremo de un resorte.

Esta línea es una sinusoide, donde las ordenadas máximas nos indican cuando la elongación es máxima, es decir su amplitud, las ordenadas cero cuando el imán pasa por la posición de equilibrio, de elongación cero.

Tendremos pues una ecuación de la abcisa $x$ que será función sinusoidal con respecto tiempo, podremos escribir :

$x = A sen ( \omega t + \varphi_0)$

Veamos el significado de los parámetros que aparecen en la ecuación y por qué los hemos dispuesto de ese modo.

Supongamos que partimos de un instante $t = 0$ , en la cual $x = A$ , es decir, de una posición igual a la amplitud.

En ese caso, la velocidad varía desde cero y va aumentando. La sinusoide que aparece en el osciloscopio nos mostrará cómo la corriente inducida va aumentando porque la velocidad del polo norte va aumentando también, pero al sobrepasar la posición de equilibrio, la velocidad va disminuyendo y la corriente inducida también. Cuando llega a la posición $x = -A$ , el extremo del imán se detiene, y la corriente inducida vale cero. Al regresar, el polo norte, saliendo, la sinusoide cambia de signo porque la corriente inducida cambia de sentido, da señales de valor negativo, hasta alcanzar el valle siguiente, en el cual la velocidad es cero. No hay que olvidar que la velocidad es el valor de la pendiente de la tangente a la curva en un punto. En las crestas y en los vientres dicha pendiente toma el valor cero.

La pendiente de la tangente a la gráfica partir de una cresta toma valores negativos y su inclinación es máxima en los puntos de elongación cero, que es cuando el resorte pasa por la posición de equilibrio.

A partir del vientre, donde la v es cero, la pendiente va aumentando hasta que se alcanza de nuevo el equilibrio y toma siempre valores positivos.

Desde una cresta hasta un valle las pendientes son negativas, desde un valle a una cresta, son positivas.

De este modo podremos deducir que si $x$ es $max$ para $t = 0$ , tendremos:

$0 = A sen (0 t + \varphi_0)$ de donde $1 = sen\varphi_0$ , por lo cual $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$

¿Pero qué significará entonces $\varphi_0$ ? Es el ángulo que hay que añadir en la parte angular de la ecuación para que ésta responda a la realidad del movimiento. $\omega$ , es el coeficiente del tiempo en la parte angular de la ecuación, y ya hemos dicho que lo hemos llamado pulsación

$\omega = \frac{2\pi}{T}$ o bien $\omega = 2 \pi f$

La ecuación pues, en este caso queda $x = A sen(\omega t + \frac{\pi}{2})$

Es evidente, que si contamos el tiempo a partir del instante que el móvil pasa por la posición de equilibrio, tendríamos que para $t = 0$ , $x = 0$

$0 = A sen(0t + \varphi_0)$ , $0 = sen \varphi_0$ , con lo cual $\varphi_0 = 0$ o bien $\varphi_0 = \pi$

El que la constante de fase tome uno de los valores $0$ o $\pi$ dependerá de que el imán esté empezando a bajar o empezando a subir. Si empieza a bajar $\Delta x > 0$ , pero si empieza a subir $\Delta x < 0$

En consecuencia, si $x = 0$ para $t = 0$ , bajando, quedará $x = A sen (\omega t + 0) = A sen \omega t$

Y la curva irá subiendo (velocidades positivas) hasta alcanzar una cresta.

Pero si está subiendo, $\varphi_0= \pi$ y la ecuación quedará

$x = A sen (\omega t +\pi)$

La sinusoide está en la posición de elongación $x = 0$ , pero las velocidades sean negativas, irá hacia un vientre.

2. Analogía con el movimiento circular uniforme

Si recordamos que el movimiento circular uniforme es el descrito por el extremo del radio vector de un $P$ que describe una circunferencia. Al expresar la ecuación del movimiento de la proyección de $OP$ sobre un diámetro, tendremos: $y = OP sen \varphi$ pero $OP$ es el valor máximo de $y$ , $y \varphi$ es el ángulo barrido por el radio vector, de modo que: $\omega =\frac { \varphi - \varphi_0}{t_0}$ , $\varphi = \omega t + \varphi_0$ y la ecuación del movimiento de $y$ quedará: $y = y_{max} sen (\omega t + \varphi_0)$ en la que se puede observar su similitud con la obtenida experimentalmente.

3. Estudio analítico: Tema avanzado

De la ecuación general de la energía podremos encontrar la variación de $x$ con relación a $t$

$\frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m v^2$

simplificando los valores $\frac{1}{2}$ y despejando $v$

$k A^2 = k x^2 + m v^2$

$m v^2 = k A^2 - k x^2$

con lo cual:

$v = \sqrt \frac{k}{m} \sqrt {A^2 - x^2}$

pero $v = \frac{dx}{dt}$

$\frac{dx}{dt} = \sqrt \frac{k}{m} \sqrt {A^2 - x^2}$

$\sqrt \frac {k}{m} dt = \frac{1}{ \sqrt {A^2 - x^2}} dx$

$\sqrt \frac {k}{m} t = \frac{1}{A} \frac {1}{\sqrt {1- \frac{ x^2}{ A^2}}} dx$

Pero el segundo miembro de la ecuación es la integral inmediata de $arc sen \frac {x}{A} +C$ , donde $C$ es la constante de integración para $t = 0$

$\sqrt \frac{k}{m} t + C = arc sen \frac {x}{A}$

Con lo cual nos quedará $x = A sen (\sqrt \frac{k}{m} t + C)$

$x = A sen (\omega t + C)$

Relación entre los parámetros

En primer lugar $f = \frac {1}{T}$

pero $\omega = 2 \pi f$

Hemos obtenido inicialmente la ecuación: $x = A sen (\omega t + \varphi_0)$

Podemos observar que: $\omega = \sqrt \frac{k}{m}$ y como $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ tenemos que:

$T = 2 \pi \sqrt \frac{m}{k}$

En la cual se observa que el periodo es independiente de la amplitud, $A$ , y sólo depende de la masa que suspendamos del resorte y de su constante de elasticidad.

Velocidad y aceleración del m.o.a

Hemos dicho que la velocidad, cualquiera que sea el tipo de movimiento, es la pendiente de la tangente en el punto de la gráfica que representa la trayectoria.

Para encontrar la velocidad nos basta pues con derivar $x = f(t)$

$x = A sen(\omega t + \varphi_0)$

$\frac{dx}{dt} = \omega A cos(\omega t + \varphi_0)$

$v = \omega A cos(\omega t + \varphi_0)$

La velocidad será una función con una diferencia de fase $\frac {\pi}{2}$ con relación a la elongación.

Para encontrar la aceleración, derivamos el vector velocidad

$a = \frac {dv}{dt} = - \omega^2 A sen (\omega t + \varphi_0)$

$a = - \omega^2 A sen (\omega t + \varphi_0)$

Pero el segundo factor, $A sen (\omega t + \varphi_0)$ es igual a la elongación, con lo cual nos queda

$a == - \omega^2 x$

Vemos que la función aceleración a es también una función seno, pero con signo opuesto al de la elongación. La aceleración y la elongación se encuentran en oposición de fase.

Por otra parte, de la ecuación fundamental de la dinámica, que ha de cumplirse siempre, obtuvimos $a = -\frac{k}{m} x$