Posiciones relativas de dos planos

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Revisión de 08:09 6 ago 2008

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Casos que se pueden dar:

Introducción

Dos planos pueden adoptar tres posiciones relativas en el espacio:

1. Secantes.

2. Coincidentes.

3. Paralelos.

Sean dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ de ecuaciones:

$\pi_1: \, a_1 x \, + \, b_1 y \, + \, c_1 \, + \, d_1 \, = \, 0$

$\pi_2: \, a_2 x \, + \, b_2 y \, + \, c_2 \, + \, d_2 \, = \, 0$

Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array} </pre> <p>\right) \qquad \mathrm{y} \qquad A | B \, = \, \left( </p> <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} -d_1 \\ -d_2 \end{array} </pre> <p>\right)$

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, se pueden presentar los casos que pasamos a discutir en la siguiente seccion:

Casos que se pueden dar:

Secantes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan según una recta. Son planos secantes.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1$

$\pi_2: \, x \, + \, y \, + \, z \, = \, 2$

son secantes, pues:

Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

Coincidentes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, siendo la segunda ecuación proporcional a la primera. Los planos tienen en comun todos sus puntos. Son planos coincidentes.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1$

$\pi_2: \, 2x \, + \, 2y \, - \, 2z \, = \, 2$