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Matriz inversa

De Wikillerato

Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   
A
  de orden   
n,
  es la matriz,   
A^{-1}
,   de orden   
n
  que verifica:



A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I


donde   
I
  es la matriz identidad de orden   
n
.


Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:


1.   Si existe,   
A^{-1} 
  es única.


2.   
\left(
</p>
<pre> A^{-1} 
</pre>
<p>\right)
^{-1} = A


3.   
\left(
</p>
<pre> A \cdot B
</pre>
<p>\right)
^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}


Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Mediante la definicion


Ejemplo



A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   3 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


hacemos


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


como



I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   3 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a & b
   \\
   c & d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 0
   \\
   0 & 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Operando:



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a + 2c & b + 2d
   \\
   3a + 7c & 3b + 7d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 0
   \\
   0 & 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a + 2c & = & 1
   \\
   3a + 7c & = & 0
   \\
   b + 2d & = & 0
   \\
   3b + 7d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.



\Rightarrow \left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a & = & 7
   \\
   b & = & -2
   \\
   c & = & -3
   \\
   d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Método de Gauss-Jordan


La inversa de una matriz regular   
A
  se calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, A \, \left| \, I \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales por filas en la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)


Operaciones elementales por filas en una matriz


Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   
i
  y   
j,
  que designaremos por   
F_i \longrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   
i
  por el numero   
k \neq 0
  y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


3. Sumar la fila   
i
  con la fila   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


4. Sumar las filas   
i
  y   
j,
 , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila   
i
  o   
j
 . Lo designamos por   
F_i
  o   
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j

NO ES CORRECTO!!!

Ejercicios resueltos


Producto e invertibilidad de matrices


   
 
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