Movimiento circular uniforme

De Wikillerato

Revisión a fecha de 09:59 4 oct 2009; Laura.2mdc (Discutir | contribuciones)

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Hemos estudiado la variación del vector velocidad, es decir, la aceleración, en un sistema de coordenadas ortogonal, de dos o de tres dimensiones y el caso particular de un movimiento rectilíneo.

Pero veamos qué ocurre en el caso del movimiento circular. Como en cualquier caso, el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria, y dado que es un vector, aún cuando su módulo permaneciese constante, su dirección variará en todo instante, y teniendo en cuenta la definición que hemos aceptado para la aceleración, al variar la dirección de $\vec v$ habrá una variación de $\vec v$ y, en consecuencia, existirá una aceleración.

Hemos presentado la representación de dos movimientos circulares, el primero, con una velocidad de módulo variable, y el segundo, con una velocidad de módulo constante. En ambos casos, encontramos que hay una variación de la velocidad y, por consiguiente, una aceleración.

Esta aceleración puede estudiarse referida a un sistema cartesiano con ejes fijos, tal y como estudiado hasta ahora, de modo que $\vec a = a_x \vec i + a_y \vec j$ .

Vectores de aceleración sobre el movimiento circular

Sin embargo, podremos abordar también el estudio de las componentes de la aceleración referidas a un sistema de ejes ortogonales con origen en el punto que ocupa el móvil, en cada instante, en el curso de su movimiento, y de modo que la dirección de uno de esos ejes coincida siempre con la dirección de la tangente a la trayectoria, es decir, con la dirección de la velocidad. El otro eje, necesariamente perpendicular al anterior, tendrá pues la dirección de la perpendicular a la tangente en cada punto, es decir, la dirección del radio del círculo, y que denominaremos dirección normal. A las componentes de la aceleración de este modo obtenidas, se llamarán componentes intrínsecas de la aceleración. Llamaremos $\tau$ al vector unitario en la dirección de la tangente y $\eta$ al vector unitario en la dirección de la normal. Estos dos vectores, aunque de módulo igual a 1, serán variables puesto que su dirección varía constantemente en el curso del tiempo.

Veamos qué valor toman esas componentes $a_\tau$ y $a_\eta$ de la aceleración, que denominaremos aceleración tangencial y aceleración centrípeta.

Aceleración centrípeta

Teniendo en cuenta que, en algunos casos, no hay una correlación entre los conocimientos de matemáticas de los estudiantes y las exigencias de demostraciones en física con un cierto rigor, utilizaremos en primer lugar un método geométrico para determinar la aceleración centrípeta en un movimiento circular uniforme, el cual, por otra parte, es el sólo caso de movimiento circular que es necesario conocer para el movimiento de masas o de partículas que se estudian en el Bachillerato.

Estudio geométrico

Imaginemos una partícula que describe un movimiento circular uniforme sobre una circunferencia de radio $r$ y con una velocidad $v$ . En un instante $t$ la partícula se encuentra sobre $P$ con una velocidad $v$ , en un instante inmediatamente posterior $t + \Delta t$ se encontrará sobre $Q$ , con una velocidad $v$ igual en módulo a la velocidad en $P$ , pero con una dirección diferente. Llevando un vector paralelo a la velocidad sobre $Q$ de modo que su origen coincida con el punto $P$ , podremos hallar la variación del vector velocidad, que llamaremos $\Delta v$ .

Igualmente podremos determinar $\Delta r$ .

Estudio geométrico de la aceleración centrípeta

En el dibujo se pueden observar dos triángulos isósceles, el $OPQ$ y el $PMN$ , que hemos señalado con los colores azul y verde, respectivamente.

$OPQ$ está formado por dos radios y la cuerda que une sus extremos. La cuerda es $\Delta r$ . Por su parte, $PMN$ es un triángulo también isósceles formado por el vector $\vec v$ en el punto $P$ y el vector $\vec v$ en el punto $Q$ , el cual, ha sido trasladado paralelamente a sí mismo hasta el punto $P$ , y por el vector $\Delta v$ , que es el segmento $MN$ , y que hemos obtenido restando $PM$ a $PN$ .

No debemos olvidar que el radio es siempre perpendicular a la tangente en cada punto.

En consecuencia, el vector $\vec r$ será siempre perpendicular al vector $\vec v$ en cada punto. Dos triángulos isósceles, con los lados iguales perpendiculares entre sí son semejantes.

$\frac{OP}{PM} = \frac{PQ}{MN}$

$frac{r}{v}\= frac {\Delta r}{\Delta v }$ por lo tanto:

$frac{r}{v}\= frac {\Delta r}{\Delta v }\$ :

$\Delta v = frac {v }{r} \Delta r$

Dividiendo por $\Delta t$ los dos miembros de la igualdad y aplicando límites cuando $\Delta t \to 0$ , nos queda:

$\lim _ {\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac {v}{r } \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta r}{\Delta t}\$

$\frac {\Delta v}{\Delta t} = \frac {v }{r } \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{v}{r} v$

Nos quedará pues:

$a = \frac{v^2}{r}$

Su dirección será la de la perpendicular a la cuerda $\Delta r$ , y dirigida hacia el centro de la circunferencia. Ahora bien, cuando los puntos $PQ$ sean muy próximos, como nos viene dado por la condición de que $\Delta \to 0$ , $PQ$ coincidirá con la tangente y, en consecuencia, $\Delta v$ tendrá la dirección de la normal, es decir la del radio y dirigida hacia el centro de la circunferencia. Podremos escribir que: