Discontinuidades
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Definición
Una función es discontinua en si NO es continua en .
Tipos de discontinuidades
Las discontinuidades se clasifican en:
- 1. discontinuidades evitables,
- 2. discontinuidades de primera especie, y
- 3. discontinuidades de segunda especie.
Veamos, a continuación, cada uno de estos tipos de discontinuidad.
Discontinuidad evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en cuando NO es continua en pero existe el limite de la función cuando tiende a y este limite es finito.
Nota sobre terminologia
Cuando decimos que un limite existe queremos decir que el limite es un número real, o .
Ejemplo
La función definida por:
no es continua en porque mientras que , es decir:
Como existe y es finito, la discontinuidad que tiene en es evitable.
Discontinuidad de primera especie
Una función presenta una discontinuidad de primera especie en si ambos limites laterales de en existen y si se verifica alguna de las siguientes condiciones:
- 1. o bien, dichos limites laterales son finitos pero distintos:
- 2. o bien, alguno de los dos limites laterales no es finito.
En el primer caso, cuando ambos limites laterales son distintos pero finitos, el valor absoluto de la diferencia entre ambos limites
se conoce como el salto de la discontinuidad.
Ejemplo
La función definida por:
no es continua en porque no existe, al ser ambos limites laterales distintos:
Como ambos limites laterales existen, pero son distintos, la discontinuidad que tiene en es de primera especie.
El salto de la discontinuidad es
Si la función tiene una discontinuidad de primera especie en pero dicha discontinuidad NO es de salto finito, entonces la gráfica de tiene una asintota vertical de ecuación .
Ejemplo
Gráfica de una función con una discontinuidad de primera especie en :
Discontinuidad de segunda especie
Una función presenta una discontinuidad de segunda especie en si NO existe alguno de los limites laterales de en .
Ejemplo
La función definida por:
no es continua en porque no existe, al no existir el limite por la izquierda de cuando :
Como este limite por la izquierda no existe, tiene en una discontinuidad de segunda especie.
No existe
porque no esta definida para valores negativos de .
Ejemplo
Gráfica de una función con una discontinuidad de segunda especie en :