Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Exitencia de la matriz inversa
3 Propiedades
4 Cálculo de la matriz inversa
5 Ejercicios resueltos

Definición

La matriz inversa de una matriz cuadrada $\mathbf{A}$ de orden $n,$ es la matriz cuadrada $\mathbf{A}^{-1}$ tambien de orden $n$ que verifica:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I$

donde $\mathbf{I}$ es la matriz identidad de orden $n$ .

Exitencia de la matriz inversa

Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.

Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.

Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.

Propiedades

Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:

1. Si existe, $\mathbf{A}^{-1}$ es única.

2. $\left( <pre>\mathbf{A}^{-1} </pre> \right) ^{-1} = \mathbf{A}$

3. $\left( <pre>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} </pre> \right) ^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}$

4. El determinante de una matriz regular $\mathbf{A}$ es el inverso del determinante de su matriz inversa:

$\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}$

Cálculo de la matriz inversa

La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:

Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo

$\mathbf{A} = \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right)$

hacemos

$\mathbf{A}^{-1} = \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right)$

como

$I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right)$

Operando:

$\left( <pre>\begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right) \Leftrightarrow \left\{ <pre>\begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

$\Rightarrow \left\{ <pre>\begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

Por el método de Gauss

La inversa de una matriz regular $\mathbf{A}$ se puede calcular transformando la matriz $\left( <pre>\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right. </pre> \right)$ mediante operaciones elementales con las filas de la matriz $\left( <pre>\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right. </pre> \right)$

Operaciones elementales con las filas de una matriz

Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:

1. Intercambiar las filas $F_i$ y $F_j$ . Esta operación la representaremos así

$F_i \longleftrightarrow F_j$

2. Multiplicar la fila $F_i$ por el número $s \neq 0$ y sustituir $F_i$ por $s \cdot F_i$ . Esta operación la representamos de la siguiente forma:

$s \cdot F_i \longrightarrow F_i$

3. Sumar las filas $F_i$ y $F_j$ , multiplicadas por sendos números, $s$ y $t$ , y sustituir $F_i$ por el resultado de esta suma. Lo representamos así:

$s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i$

Notese que el segundo tipo de operación, $s \cdot F_i \longrightarrow F_i$ , es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando $t = 0$ .

Mediante la matriz adjunta

La matriz inversa de una matriz regular $\mathbf{A}$ se puede calcular mediante la expresión:

donde $ <pre>\makebox{Adj} \left( \, \mathbf{A} \, \right) </pre> $ es la matriz adjunta de $\mathbf{A}$ .

Definición de matriz adjunta

La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada $\mathbf{A}$ se llama matriz adjunta de $\mathbf{A}$ y se denota por $\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)$ . El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de $\mathbf{A}$ es $A_{ij}$ , el adjunto del elemento de $\mathbf{A}$ en su fila i-esima y columna j-esima $\left( \, a_{ij} \, \right)}$ .

Ejemplo

Los menores complementarios de los elementos de la matriz

$\mathbf{A} = \left( <pre> \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{array} </pre> \right)$

son

$\begin{array}{ccc} \alpha_{11} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 5 & 6 \\ 8 & 0 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{12} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 7 & 0 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{13} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> \right| \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \alpha_{21} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 8 & 0 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{22} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 7 & 0 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{23} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> \right| \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \alpha_{31} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{32} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> \right| & \qquad \alpha_{33} = \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} </pre> \right| \end{array}$

Los adjuntos de los elementos de $\mathbf{A}$ son:

$\begin{array}{ccccccccccc} A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3 \\ A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6 \\ A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 &\end{array}$

La matriz adjunta de $\mathbf{A}$ es

$\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) = \left( <pre> \begin{array}{ccc} </pre> -48 & ~42 & -3 \\ ~24 & -21 & ~6 \\ ~-3 & ~~6 & -3 \end{array} \right)$

El determinante de $\mathbf{A}$ lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:

$\left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \, <pre> -3 \, \right) = 25 </pre> $

Por lo tanto, la matriz inversa de $\mathbf{A}$ es

$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot <pre>\left[ \makebox{Adj} \left( \, \mathbf{A} \, \right) \right] ^t = \frac{1}{25} \cdot \left( \begin{array}{ccc} </pre> -48 & ~24 & -3 \\ ~42 & -21 & ~6 \\ ~-3 & ~~6 & -3 \end{array} \right)$