Asíntotas

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Introducción

Las asíntotas de una funcíon son rectas a las que "se aproximan" su gráfica.

En los siguientes apartados concretaremos que se entiende por "se aproximan".

Asíntotas verticales

Se dice que la recta vertical de ecuación

$x = a$

es una asíntota vertical de la función $\mathrm{f}$ , si y solo si

$\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

es $+\infty$ o $-\infty$ , o bien

$\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

es $+\infty$ o $-\infty$ .

No hay limite al número de asíntotas verticales que puede tener una función.

Ejemplos

Ejemplo 1

La función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}$ tiene una asíntota vertical de ecuación

$x = 0$

ya que

$\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$

$\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$

Notese que la asíntota vertical de esta función es el eje Y.

Ejemplo 2

La función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \arc \tan \left( \, x \, \right)$ tiene una asíntota vertical de ecuación

$x = \frac{\pi}{2} + n \cdot \pi$

para cada $n \in \mathbb{Z}$ .

Por lo tanto, tiene infinitas asíntotas verticales.

Asíntota vertical y gráfica

A la hora de dibujar en la gráfica una asíntota vertical de ecuacion $x = a$ , es importante conocer ambos limites laterales:

$\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ y $\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

Veamos varios ejemplos en los que se ve claramente los distintos tipos de asíntotas verticales que se pueden tener dependiendo de como sean los limites laterales anteriores.

Ejemplos

Ejemplo 1

Imagen:AsíntotaV1.png

A la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical la función tiende a $+\infty$ .

Ejemplo 2

Imagen:AsíntotaV2.png

A la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical la función tiende a $-\infty \left( \, \lim_{x \to 5^} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \lim_{x <pre> \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty ) \, \right) </pre> $ .

Ejemplo 3

Imagen:AsíntotaV3.png

A la izquierda de la asíntota vertical la función tiende a $+\infty$ y a la derecha a $-\infty \left( \, \lim_{x \to 5^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty, \, <pre> \lim_{x \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty ) \, \right) </pre> $ .

Ejemplo 4

Imagen:AsíntotaV4.png

A la izquierda de la asíntota vertical la función tiende a $-\infty$ y a la derecha a $+\infty \left( \, \lim_{x \to 5^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty, \, <pre> \lim_{x \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = +\infty ) \, \right) </pre> $ .

Ejemplo 5

Imagen:AsíntotaV5.png

A la izquierda de la asíntota vertical la función tiende a un punto en la asíntota vertical y a la derecha la función tiende a $+\infty \left( \, \lim_{x \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = +\infty \right)$ .

Asíntotas horizontales

La función $\mathrm{f}$ tiene una asíntota horizontal por la derecha de ecuación $y = a$ si y solo si

$\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = a$

La función $\mathrm{f}$ tiene una asíntota horizontal por la izquierda de ecuación $y = a$ si y solo si

$\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = a$

Pueden darse los siguientes casos:

1. No existe ninguna asíntota horizontal.

2. Existe una unica asíntota horizontal por la derecha pero no existe asíntota

horizontal por la izquierda.

3. Existe una unica asíntota horizontal por la izquierda pero no existe asíntota

horizontal por la derecha.

4. Existen dos asíntotas horizontales, una por la izquierda y otra por la derecha.

En este ultimo caso, las asíntotas horizontales por la derecha y por la izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincidir.

Ejemplos

Ejemplo 1

La función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}$ tiene una asíntota horizontal de ecuación

$y = 0$

ya que

$\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0$

En este caso la asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha coinciden ( ambas son el eje X ).

Ejemplo 2

Gráfica de una función con asíntota horizontal por la izquierda:

Imagen:AsíntotaHI.png

Ejemplo 3

Gráfica de una función con asíntota horizontal por la derecha:

Imagen:AsíntotaHD.png

Ejemplo 4

Gráfica de una función con asíntotas horizontales por la derecha y por la izquierda:

Imagen:AsíntotaHID.png

Asíntotas oblicuas

$\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{x}$

es un número real $m$ distinto de cero diremos que la función $\mathrm{f}$ tiene una asíntota oblicua por la derecha.

En este caso, la asíntota oblicua por la derecha es la recta de ecuación

$y = m \cdot x + n$

donde

$n = \lim_{x \to \infty} \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - m \cdot x \, </pre> \right)$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{x}$

es un número real $m$ distinto de cero diremos que la función $\mathrm{f}$ tiene una asíntota oblicua por la izquierda.

En este caso, la asíntota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación

$y = m \cdot x + n$

donde

$n = \lim_{x \to -\infty} \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - m \cdot x \, </pre> \right)$

Pueden darse los siguientes casos:

1. No existe ninguna asíntota oblicua.

2. Existe una unica asíntota oblicua por la derecha pero no existe asíntota

oblicua por la izquierda.

3. Existe una unica asíntota oblicua por la izquierda pero no existe asíntota

oblicua por la derecha.

4. Existen dos asíntotas oblicuas, una por la izquierda y otra por la derecha.

En este ultimo caso, las asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincider.

Si  por la  derecha ( izquierda ) existe  asíntota horizontal,  no existe  asíntota  oblicua y viceversa.

Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asíntotas horizontal y oblicua por la derecha ( izquierda ).

Ejemplos

Ejemplo 1

Gráfica de una función con asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.

Imagen:AsíntotaO.png

Ejemplo 2

Sea

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

Como

$\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - x} = 1 \neq 0$

La función $\mathrm{f}$ tiene una asíntota oblicua por la derecha de pendiente 1.

Para calcular su ordenada en el origen $n$ calculamos el siguiente limite

$n = \lim_{x \to \infty} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x\, \right) = \lim_{x \to \infty} \left( <pre> \, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \, </pre> \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$

Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la derecha es

$y = x + 1$

Como

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1 \neq 0$

La función $\mathrm{f}$ tiene una asíntota oblicua por la izquierda de pendiente 1.

Para calcular su ordenada en el origen $n$ calculamos el siguiente limite

$n = \lim_{x \to -\infty} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x\, \right) = \lim_{x \to \infty} \left( <pre> \, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \, </pre> \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$