Matriz inversa

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La matriz inversa de una matriz cuadrada $A$ de orden $n,$ es la matriz $, A^{-1},$ de orden $n$ que verifica:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$

Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.

Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:

1. Si existe, $A^{-1}$ es única.

2. $\left( <pre> A^{-1} </pre> \right) ^{-1} = A$

3. $\left( <pre> A \cdot B </pre> \right) ^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$

Calculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:

Mediante la definicion

Por ejemplo para hallar la matriz inversa de la matriz

$A = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right)$

hacemos

$A^{-1} = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right)$

como

$I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right)$

Operando:

$\left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right) \Leftrightarrow \left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

$\Rightarrow \left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

Método de Gauss-Jordan

La inversa de una matriz regular $A$ se calcular transformando la matriz $\left( <pre>\, A \, \left| \, I \, \right. </pre> \right)$ mediante operaciones elementales por filas en la matriz $\left( <pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. </pre> \right)$

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

Intercambiar las filas

$i$ y $j,$ que designaremos por $F_i \longrightarrow F_j$

Multiplicar la fila

$i$ por el numero $k \neq 0$ y sustituirla por el resultado; lo designamos por $F_i \tau k \cdot F_i$

Multiplicar la fila

$i$ por el numero $k \neq 0$ y sustituirla por el resultado; lo designamos por $F_i \tau k \cdot F_i$

Sumar las filas

$i$ y $j,$ , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila $i$ o $j$ . Lo designamos por $F_i$ o [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]