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Cálculo del rango de una matriz por menores
De Wikillerato
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Definición de menor de una matriz
Se llama menor de orden k de una matriz
al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k
filas y a k columnas de la matriz
.
En este determinante los elementos de
conservan las posiciones relativas que tienen en la matriz
.
Es decir, si la fila de
en la que se encuentra
esta por encima de la fila de
en la que se encuentra
,
entonces, en los menores de
en los que aparezcan
y
,
la fila en la que se encuentra
va a estar por encima de la fila en la que se encuentra
.
Analogamente, si la columna de
en la que se encuentra
esta a la derecha de la columna de
en la que se encuentra
,
entonces, en los menores de
en los que aparezcan
y
,
la columna en la que se encuentra
va a estar a la derecha de la columna en la que se encuentra
.
Teorema
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz.
Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son nulos. O dicho de otra manera:
Si todos los menores de orden k y de orden mayor que k de una matriz son nulos, entonces el rango de dicha matriz tiene que ser menor que k.
Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuacion nos permite
calcular el rango de una matriz
independientemente de como sea la matriz
.
Procedimiento para calcular el rango de una matriz usando menores
Sea
el orden de los menores de mayor orden de la matriz
.
es el número de filas o el número de columnas de
,
lo que sea mayor.
Empezando por
y continuando con
,
para cada valor de
se comprueba si algún menor de orden
es cero o no.
Si considerando distintos valores de
en este orden, encontramos que algún menor de orden
es distinto de cero, entonces el rango de
seria
,
en caso contrario, el rango de
seria menor de
y habria que considerar un valor
una unidad menor
.
Si no encontramos ningun valor de
entero positivo y menor o igual que
, tal que todos los menores de orden
de
sean cero,
entonces el rango de
es cero.
Ejemplo
Calculemos el determinante de la matriz
![\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
1 & 2 & 3
\\
2 & 4 & 6
\\
-1 & 0 & 5
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-2637e92125a23689f50f71bd8176eed5.png "\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
1 & 2 & 3
\\
2 & 4 & 6
\\
-1 & 0 & 5
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
En este caso
.
Comprobamos primero si todos los menores de orden
son nulos.
En este caso, solo hay un menor de orden 3,
,
por lo tanto, solo tenemos que
calcular un determinante de orden 3.
Como, despues de hacer las cuentas, resulta que
todos los menores de orden 3 de
son cero y por el teorema anterior el rango de
ha de ser menor que 3.
Como ningún menor de orden 3 es nulo, pasamos a los menores de orden 3 - 1 = 2, y comprobamos si todos ellos son nulos ( cero ) o no.
tiene 9 menores de orden 2. Calculamos uno por uno para comprobar si alguno de
ellos es distinto de cero. Si encontramos que alguno de ellos es cero paramos.
Supongamos que empezamos a calcular estos 9 menores en el siguiente orden:
- 1. Primero calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos
filas ( las de mas arriba ) y las primeras dos columnas ( las de mas a la
izquierda ) de
,
- 2. A continuación calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos
filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la
derecha ) de
,
- 3. El tercer menor que calculamos es el que se obtiene seleccionando las ultimas dos
filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la
derecha ) de
.
Procediendo asi, hubiesemos obtenido que los dos primeros menores son cero, pero
como el tercer menor ya nos sale distinto de cero, paramos y concluimos que, como
un menor de orden 2
es distinto de cero, por el teorema anterior el rango de
tiene que ser mayor que 2. Como ya habiamos averiguado antes que el rango de
tiene que ser menor que 3, deducimos que el rango de
es 2.
