Cálculo de áreas y volúmenes

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Cálculo de áreas mediante integrales

Supongamos que nos dan dos funciones $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ y $\mathrm{g} \left( \, x \, \right)$ y nos preguntan calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.

El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función $\mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right)$ y el eje X.

Para calcular el área comprendida entre la función $\mathrm{h}$ y el eje X, procedemos de la siguiente manera:

1. En primer lugar resolvemos la ecuación:

$\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = 0$

para obtener $n$ soluciones $x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n$ con

$x_1 < x_2 < \ldots < x_n$

2 Buscamos una primitiva

$\mathrm{H} \left( \, x \, \right)$ de $\mathrm{h} \left( \, x \, \right)$ .

3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la

fórmula:

$\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left( <pre> \, x_2 \, \right) \, \right| + </pre> \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left( <pre> \, x_3 \, \right) \, \right| + \ldots + \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{n-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( \, x_n \, \right) \, \right| </pre> $

donde

$\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( <pre> \, x_i \, \right) \, \right| </pre> $

es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = x_{i-1}$ , $x = x_i$ , el eje X y la grafica de la función $\mathrm{h}$ .

Ejemplo

Calculemos el área comprendida entre las graficas de $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3$ y $\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x$ .

El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función $\mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - x$ y el eje X.