Cálculo de áreas y volúmenes

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Tabla de contenidos

1 Cálculo del área entre las graficas de dos funciones
- 1.1 Ejemplo
2 Volumen de un cuerpo de revolución
- 2.1 Ejemplo

Cálculo del área entre las graficas de dos funciones

Supongamos que nos dan dos funciones $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ y $\mathrm{g} \left( \, x \, \right)$ y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.

El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función $\mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right)$ y el eje X.

Para calcular el área comprendida entre la función $\mathrm{h}$ y el eje X, procedemos de la siguiente manera:

En primer lugar resolvemos la ecuación:

$\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = 0$

para obtener $n$ soluciones $x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n$ con

$x_1 < x_2 < \ldots < x_n$

A continuacion, buscamos una primitiva $\mathrm{H} \left( \, x \, \right)$ de $\mathrm{h} \left( \, x \, \right)$ .

Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la fórmula:

$\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left( <pre> \, x_2 \, \right) \, \right| + </pre> \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left( <pre> \, x_3 \, \right) \, \right| + \ldots + \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{n-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( \, x_n \, \right) \, \right| </pre> $

donde $\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( <pre> \, x_i \, \right) \, \right| </pre> $ es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = x_{i-1}$ , $x = x_i$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y la grafica de la función $\mathrm{g}$ .

Ejemplo

Calculemos el área comprendida entre las graficas de $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3$ y $\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x$ .

El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función $\mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - x$ y el eje X.

Para calcular el área comprendida entre la función $\mathrm{h}$ y el eje X, procedemos de la siguiente manera:

En primer lugar resolvemos la ecuación:

$\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x = 0$

para obtener 3 soluciones $x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1$ .

Integramos $\mathrm{h}$ para obtener una primitiva $\mathrm{H}$ de $\mathrm{h}$ :

$\mathrm{H} \left( \, x \, \right) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$

Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:

$\left| \, \mathrm{H} \left( \, -1 \, \right) - \mathrm{H} \left( <pre> \, 0 \, \right) \, \right| + </pre> \left| \, \mathrm{H} \left( \, 0 \, \right) - \mathrm{H} \left( <pre> \, 1 \, \right) \, \right| = </pre> $

$ <pre>= \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \, \right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \, \right)^2}{2} \, \right) \right| + </pre> \left| \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \, <pre> \right)^2}{2} - \left( \, \frac{\left( \, 1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 1 \, \right)^2}{2} \, \right) \right| = \frac{1}{2} </pre> $

Volumen de un cuerpo de revolución

Al girar un trozo de la grafica de una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]$ alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular.

Si dividimos el intervalo $\left[ \, a, \, b \, \right]$ en $n$ subintervalos iguales, entonces podemos aproximar el volumen del cuerpo de revolución por

$\sum_{i=1}^n \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)$

donde $x_i$ es el limite superior y $x_{i-1}$ es el limite inferior del i-esimo subintervalo.

El producto

$\pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)$

es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X, cuyas bases estan en los planos de ecuación $x = x_{i-1}$ y $x = x_i$ , respectivamente y cuya altura es $\mathrm{f} \left( \, x_i \, \right)$ .

Notese que $x_i - x_{i-1} = \Delta x = \frac{b - a}{n}$ y que $x_n = b, \, x_0 = a$ .

Para cada $i = 1, \, 2, \, \ldots n$ tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos calcular. Cuando hacemos tender $n$ a $\infty$ obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral

$\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Ejemplo

Consideremos el cuerpo de revolución formado por la función constante

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5$

Al hacer girar el trozo de la grafica de $\mathrm{f}$ entre $x = 0$ y $x = 7$ ontenemos un cuerpo de revoluci\'on ( un cilindro de radio 5 y altura 7 ).

Utilizando la formula anterior se llega a que

$\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_0^7 \pi \cdot 5^2 \cdot \mathrm{d}x = \pi \cdot 5^2 \cdot \left[ \, x \, \right]_0^7 = \pi \cdot 5^2 \cdot 7$