Algunos problemas con triángulos

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Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas.

Tabla de contenidos

1 Problema de Napoleón
2 Problema I
3 Problema II
4 Problema III
5 Problema IV
6 Problema V
7 Problema VI
8 Problema VII
9 Problema VIII
10 Problema IX
11 Problema X
12 Problema XI
13 Problema XII
14 Problema XIII
- 14.1 Enlaces externos

Problema de Napoleón

Este problema atribuido al emperador francés es realmente otra propiedad de los triángulos, aunque se la conoce con el nombre de problema: “Si en un triángulo arbitrario $ABC$ se construye un equilátero con un lado coincidente con cada lado, los puntos notables de estos triángulos determinan otro equilátero”.

Problema I

$AB \$ es la hipotenusa del triángulo. $X$ es el punto por el que pasa la bisectriz de ángulo en $C$ . Construir el triángulo $ABC$ .

El triángulo buscado es rectángulo, siendo $ACB=90^\circ$ . Si dibujamos el arco capaz de $90^\circ$ para $AB \$ y el de $45^\circ$ para $AX \$ el problema está resuelto. El punto $C$ es la intersección de los dos arcos capaces. Hay otra solución simétrica a $ABC$ respecto de $AB \$ .

Problema II

En un triángulo el ángulo $ACB=90^\circ$ , el lado $AB \$ y la suma de los lados $a+b$ son segmentos dados. Construir el triángulo $ABC$ .

Dibujamos el perímetro del triángulo que es el segmento $A''A'= c+a+b$ , pues $AB=c$ . Señalamos el punto $B$ , pues $A''B=AB$ . El punto $A$ estará en la circunferencia de centro $B$ y radio $BA''$ .

Dibujamos en $A'$ el ángulo de $45^\circ=90^\circ / 2$ . El lado del ángulo corta al arco de circunferencia en las dos posiciones del punto $A$ . Dibujamos $ABC$ . El otro resultado, rayado, es el mismo triángulo colocado con los catetos en distinta dirección.

Problema III

Conocemos el lado $AB \$ de un triángulo y sus alturas $ha$ y $hc$ . Construir el triángulo $ABC$ .

Dibujamos el lado $AB \$ y una recta paralela a $AB \$ a la distancia $hc$ .

Trazamos un arco con radio $ha$ y centro en $A$ y la tangente desde $B$ a dicho arco. El punto $C$ será la intersección de la paralela con la tangente.

Hay otra solución simétrica a $ABC$ respecto de $AB \$ .

Problema IV

Conocemos el lado $AB \$ de un triángulo, un vértice $M$ de su órtico y sabemos que el circuncentro $C$ dista una magnitud dada, $CP$ , de $AB \$ . Construir el triángulo.

Hallamos la mediatriz de $AB \$ y situamos el circuncentro sobre ella. Dibujamos la circunferencia circunscrita, donde estará el vértice $C$ buscado. Como $M$ es un vértice del órtico, es el pie de la altura sobre $AB \$ . Trazamos una perpendicular por $M$ y hallamos $C$ en su intersección con la circunscrita. Existe otra solución simétrica respecto de $AB \$ .

Problema V

Conocemos el lado $AB \$ de un triángulo y sus medianas $ma$ y $mc$ . Construir el triángulo.

Trazamos la mediatriz de $AB \$ para hallar su punto medio $M$ .

Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en $A$ y radio $2ma/3$ trazamos un arco. Con centro en $M$ y radio $mc/3$ trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud $mc$ desde $M$ , así hallamos $C$ y trazamos el triángulo $ABC$ .

Problema VI

Conocemos un punto $P$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ , su recta de Simson $s$ y las perpendiculares desde $P$ la los lados del triángulo. Dibujar $ABC$ y su circunferencia de Feuerbach. Comprobar que si $O \$ es el ortocentro, el punto medio de $PO$ está sobre s y sobre dicha circunferencia.

Trazamos por $X, Y$ y $Z$ las perpendiculares a $PX, PY$ y $PZ$ respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo $ABC$ . Hallamos su ortocentro $O \$ y su circunferencia de Feuerbach y comprobamos la posición del punto $M$ como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que $P$ está en la circunscrita de $ABC$ .

Problema VII

Conocemos el segmento $CO$ determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo $ABC$ y su vértice $B$ . Construir el triángulo.

Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro $C$ y radio $CB$ . Sabemos que el vector $CO$ es la suma de los vectores $CA+CB+CC$ , siendo $C$ el circuncentro.

Realizamos la operación inversa hallando $CD$ ; igual y paralelo a $BO$ , tal que $CB +CD=CO$ . Por $D$ trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que $CA=CB=CC$ son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos $A$ y $C$ vértices de $ABC$ .

Comprobamos que el vector $CD=CA+CC$ y por lo tanto $CO=CA+CB+CC$ .

Problema VIII

Conocemos el circuncentro, un vértice $A$ la recta $na$ que contiene a la mediana que pasa por $A$ y la mediatriz $ma$ . Construir el triángulo $ABC$ .

Dibujamos la circunscrita con centro en $C$ y radio $CA$ . Por el punto de intersección de $na$ con $ma$ trazamos la perpendicular a $ma$ , obteniendo los vértices $B$ y $C$ de la solución.

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Problema IX

Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo $ABC$ , el vértice $A$ y la bisectriz $bC$ . Construir el triángulo $ABC$ .

La bisectriz $b_C$ se cortará con la mediatriz del lado $AB \$ opuesto al ángulo en $C$ en un punto $X$ de la circunscrita. La recta $XC$ es la mediatriz de $AB, m_{AB}$ . El vértice $B$ es simétrico de $A$ respecto a dicha mediatriz.

Por otra parte la bisectriz $bC$ corta a la circunscrita en el vértice $C$ .

Problema X

Conocemos la mediatriz $m_{AB}$ , la bisectriz $b_C$ y un punto $A$ del triángulo $ABC$ . Construir dicho triángulo.

La intersección de la mediatriz y la bisectriz dadas es un punto $P$ que pertenece a la circunscrita de $ABC$ . Trazamos la mediatriz de $AP$ y hallamos el centro de dicha circunscrita, que dibujamos. El punto $B$ es el simétrico de $A$ respecto de $m_{AB}$ y el punto $C$ la intersección de $b_C$ con la circunscrita.

Dibujamos $ABC$ .

Problema XI

Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo $ABC$ . Construir el triángulo.

Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son $ABC$ y $A'B'C'$ .

Problema XII

Conocemos dos circunferencias, la menor inscrita y la mayor exinscrita a un triángulo $ABC$ . Construir el triángulo.

Problema XIII

Dado un triángulo $ABC$ , construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler.

En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach.