Concavidad y convexidad

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Tabla de contenidos

1 Convexidad
2 Concavidad
3 Puntos de inflexión
- 3.1 Ejemplo
- 3.2 Ejemplo

Convexidad

Si la derivada segunda de $\mathrm{f}$ en $a$ es positiva, entonces $\mathrm{f}^\prime$ es creciente en $a$ y $\mathrm{f}$ es convexa en $a$ .

Concavidad

Si la derivada segunda de $\mathrm{f}$ en $a$ es negativa, entonces $\mathrm{f}^\prime$ es decreciente en $a$ y $\mathrm{f}$ es cóncava en $a$ .

Puntos de inflexión

Un punto de inflexion es un punto donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.

La función cuya grafica se muestra en la figura de abajo tiene un punto de inflexión en el origen de coordenadas ( intersección de los ejes X e Y ).

Si $x_0$ es un punto de inflexión de $\mathrm{f}$ , entonces $\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0$ , pero lo reciproco no es cierto en general:

$\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0$ no implica que $x_0$ sea un punto de inflexión de $\mathrm{f}$ .

Ejemplo

La derivada segunda de la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^4$ se anula en $x \, = \, 0$ pero $\mathrm{f}$ no tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa $x \, = \, 0$ . $\mathrm{f}$ es covexa en todo su dominio ( R ).

Ejemplo

La derivada segunda de la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^3$ se anula en $x \, = \, 0$ .

$\mathrm{f}$ tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa $x \, = \, 0$ porque $\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x \, \right) \, = \, 6x$ cambia de signo en $x \, = \, 0$ :

si $x < 0$ entonces $\mathrm{f}^{\prime \prime}$ es negativa ( $\mathrm{f}$ es concava ) y si $x > 0$ entonces $\mathrm{f}^{\prime \prime}$ es positiva ( $\mathrm{f}$ es convexa ).