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Matriz inversa
De Wikillerato
Tabla de contenidos |
Definición
La matriz inversa de una matriz cuadrada
de orden
es la matriz,
, de orden
que verifica:
donde
es la matriz identidad de orden
.
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
1. Si existe,
es única.
2.
3.
Cálculo de la matriz inversa
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:
Mediante la definicion
Ejemplo
![A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-1fe0b90602bd956d6622d417fadb9a6d.png "A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
hacemos
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
como
![I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-83c4208e822a9057faf4bc22eb75b114.png "I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
Operando:
![\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
a + 2c & b + 2d
\\
3a + 7c & 3b + 7d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a + 2c & = & 1
\\
3a + 7c & = & 0
\\
b + 2d & = & 0
\\
3b + 7d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-65ac35f7477a5f157f8f4b5954474b3d.png "\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
a + 2c & b + 2d
\\
3a + 7c & 3b + 7d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a + 2c & = & 1
\\
3a + 7c & = & 0
\\
b + 2d & = & 0
\\
3b + 7d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
![\Rightarrow \left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a & = & 7
\\
b & = & -2
\\
c & = & -3
\\
d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-d80915bcc5f5cebafc112b3692daef76.png "\Rightarrow \left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
a & = & 7
\\
b & = & -2
\\
c & = & -3
\\
d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
Método de Gauss-Jordan
La inversa de una matriz regular
se calcular transformando la matriz
mediante operaciones
elementales por filas en la matriz
====Op
Ejercicios resueltos
Producto e invertibilidad de matrices
