Matriz inversa

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Tabla de contenidos

1 Cálculo de la matriz inversa
- 1.1 Mediante la definicion
  - 1.1.1 Ejemplo
- 1.2 Método de Gauss-Jordan
  - 1.2.1 Operaciones elementales por filas en una matriz
2 Véase también
3 Ejercicios resueltos

Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:

Mediante la definicion

Ejemplo

$A = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right)$

hacemos

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

como

$I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right)$

Operando:

$\left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right) \Leftrightarrow \left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

$\Rightarrow \left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

Método de Gauss-Jordan

La inversa de una matriz regular $A$ se calcular transformando la matriz $\left( <pre>\, A \, \left| \, I \, \right. </pre> \right)$ mediante operaciones elementales por filas en la matriz $\left( <pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. </pre> \right)$

Operaciones elementales por filas en una matriz

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

1. Intercambiar las filas $i$ y $j,$ que designaremos por $F_i \longrightarrow F_j$

2. Multiplicar la fila $i$ por el numero $k \neq 0$ y sustituirla por el resultado; lo designamos por [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

3. Sumar la fila $i$ con la fila [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y sustituirla por el resultado; lo designamos por [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

4. Sumar las filas $i$ y $j,$ , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila $i$ o $j$ . Lo designamos por $F_i$ o $F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j$