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Dominio y recorrido
De Wikillerato
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Definición de dominio
En principio y hablando con rigor, el dominio de una función es parte de la definición de esa función.
Ejemplo
Las funciones
![\mathrm{f}: \left[ \, 5, \, 6 \, \right] \subset R \longrightarrow R](/images/math/math-6d69fc070bf4d99f3e1abd1cd6fb30ea.png "\mathrm{f}: \left[ \, 5, \, 6 \, \right] \subset R \longrightarrow R")
![\mathrm{g}: \left[ \, 1, \, 4 \, \right] \subset R \longrightarrow R](/images/math/math-723cadf38fa49eb6be59832152a9192c.png "\mathrm{g}: \left[ \, 1, \, 4 \, \right] \subset R \longrightarrow R")
son funciones distintas porque sus dominios de definición son diferentes.
Observese que, en ambos casos, la imagen de
se calcula de la misma manera ( dividiendo 1 entre
).
Sin embargo, cuando nos dicen que la función es
y nos piden el dominio, se entiende, que lo que nos estan pidiendo es el
mayor dominio posible, el conjunto de todos los numeros reales
para los cuales existe
, es decir,
, que en el ejemplo que estamos considerando es
(Todos los números reales excepto el cero ).
Método para hallar el dominio
Un procedimiento de obtención del dominio de una función
es quitar a
todos los
en los que la función no esta definida.
En general, la función
no esta definida en
cuando al evaluar
en
nos encontramos con alguno de los siguientes "problemas":
- 1. Divisón por cero.
- 2. Logaritmo de un número no positivo ( cero o negativo ).
- 3. Raiz de orden par de un número negativo.
Ejemplo
Veamos como podemos hallar el dominio de
Según lo explicado anteriormente, buscamos primero aquellos valores de
para los cuales no existe
.
La raiz de un numero negativo no es un número real, por lo tanto, excluiremos
del dominio aquellos valores de
que sean solución de la inecuación
La función
es negativa cuando
y
tienen diferente signo, es decir, cuando ( caso 1 )
o bien, cuando ( caso 2 )
Analicemos primero el caso 1.
La solución de
es
mientras que la solución de
es
Por lo tanto, el caso 1 se da cuando
Analicemos, a continuación, el caso 2.
La solución de
es
mientras que la solución de
es
Por lo tanto, el caso 2 se da cuando
Es decir, este caso nunca se da (
conjunto vacio ).
El dos tampoco esta en el dominio de
porque cuando
se tiene una divisi\'on por 0 en
Concluimos así, que el dominio de
es
![\mathbb{R} - \left\{ \, 2 \, \right\} - \left( \, 1, \, 2 \, \right) =
\left( \, -\infty, \, 1 \, \right] \cup \left( \, 2, \, \infty \, \right)](/images/math/math-442584f51243704cdc59eaaac3d4aad2.png "\mathbb{R} - \left\{ \, 2 \, \right\} - \left( \, 1, \, 2 \, \right) =
\left( \, -\infty, \, 1 \, \right] \cup \left( \, 2, \, \infty \, \right)")
Dominio y grafica
El conocer el dominio de una función
nos va a permitir identificar bandas o franja verticales donde la gráfica de la
función no esta ( ningun punto de la gráfica de
se encotraría en dichas franjas o bandas verticales ).
Ejemplo
En el ejemplo anterior el dominio de
es
![\mathbb{R} - \left( \, 1, \, 2 \, \right]](/images/math/math-e1f05b0b4185fbb63a0e0ff24c7efbd5.png "\mathbb{R} - \left( \, 1, \, 2 \, \right]")
La grafica de
podría tener algun punto en la recta vertical
de ecuaci\'on
pero no puede tener ningun punto, ni en la recta vertical
de ecuación
ni en ningun punto en la franja vertical delimitadas por las rectas
y
.
Recorrido y grafica
Análogamente, el conocer el dominio de una función
nos va a permitir identificar bandas o franja horizontales donde la grafica de la
función no esta ( ningun punto de la grafica de
se encotraría en dichas franjas o bandas horizontales ).
Ejemplo
El recorrido de la función
es
![\left[ \, -1, \, 1 \, \right]](/images/math/math-835b91871a82c41933594d58cb622152.png "\left[ \, -1, \, 1 \, \right]")
,
lo cual significa que deberemos dibujar la grafica en la banda horizontal
delimitada por las rectas horizontales de ecuaciones
e
,
ya que ningun punto de la grafica se encuentra fuera de esta banda horizontal.
