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¿Qué es una matriz?
De Wikillerato
Tabla de contenidos |
Definición de matriz
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
a un conjunto de números reales dispuestos en
filas y
columnas de la siguiente forma
![\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-2b93b39c0505fe91a8bdffdcb317c676.png "\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
La matriz
se puede denotar tambien como
donde
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
\\
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-22d889e2bbcf6ec56d6db3849ebbe730.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
\\
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
designa un elemento generico de la matriz
, el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.
Tipos de matrices
Matrices cuadradas
Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.
En las matrices cuadradas tenemos:
- la diagonal principal formada por los elementos de la forma
- la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma
tales que
Matriz rectangular
Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.
Ejemplo de matriz rectangular
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & -1 & ~~0
\\
2 & ~~3 & -1
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-77539f199b63acde3f386891e6643924.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & -1 & ~~0
\\
2 & ~~3 & -1
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz fila
Una matriz fila es una matriz con una sola fila. Su dimensi\'on es
.
Ejemplo
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
-1 & 3 & 5
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-ddcaa947e9641f093ec0f8d2c0d583d9.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
-1 & 3 & 5
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz columna
Una matriz columna es una matriz rectangular con una sola columna. Su
dimension es
.
Ejemplo
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{c}
-1
\\
~~3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-6e25da3e668f5afabb9e8999290f43de.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{c}
-1
\\
~~3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Ejemplo
Una matriz nula es una matriz cuyos elementos sont todos nulos. Se denota
por
.
Donde
es la dimensión de la matriz.
Ejemplo
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-5843638a226353656790577733c70017.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz triangular superior
Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & -1 & ~~0
\\
0 & ~~3 & -1
\\
0 & ~~0 & ~~2
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-bc3f0df47bfb80a397ae4b8f23b8c0aa.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & -1 & ~~0
\\
0 & ~~3 & -1
\\
0 & ~~0 & ~~2
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz triangular inferior
Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
2 & ~~0 & 0
\\
3 & -1 & 0
\\
1 & -1 & 3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-82e48a12244d0a664439764d8460b342.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
2 & ~~0 & 0
\\
3 & -1 & 0
\\
1 & -1 & 3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los terminos NO situados en la diagonal principal son ceros.
Ejemplo
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
~~2 & ~~0 & ~~0
\\
~~0 & -1 & ~~0
\\
~~0 & ~~0 & ~~3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-7243130e96bfab5fa81a6d6c3f538afa.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
~~2 & ~~0 & ~~0
\\
~~0 & -1 & ~~0
\\
~~0 & ~~0 & ~~3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
2 & {0} & {0}
\\
{0} & 2 & {0}
\\
{0} & {0} & 2
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-0c8108a994f140b623c5323aab03f2e4.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
2 & {0} & {0}
\\
{0} & 2 & {0}
\\
{0} & {0} & 2
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz unidad o identidad
Una matriz unidad o identidad es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son todos 1.
Ejemplo
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & {0} & {0}
\\
{0} & 1 & {0}
\\
{0} & {0} & 1
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-992b5c285926278d809ff3bdadf8a15d.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & {0} & {0}
\\
{0} & 1 & {0}
\\
{0} & {0} & 1
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
