Ángulo entre dos rectas

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Ángulo entre una recta y un plano

El ángulo $\alpha$ que forma una recta $r$ cuyo vector director es $\mathbf{u}$ y un plano $\pi$ cuyo ángulo normal es $\mathbf{n}$ es complementario al ángulo que forman $r$ y $\mathbf{n}$ .

Por lo tanto, se tiene que

$\cos \left( \, 90 - \alpha \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{n}, \, \mathbf{u} \, \right|}{\left| \, \mathbf{n} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{u} \, \right|}}$

Podemos obtener un vector director de la recta $r$ multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:

$0 = x - 2y + 3z$

por un vector perpendicular del plano

$0 = 2x - y + 4$

Un vector perpendicular al plano

$0 = x - 2y + 3z$

lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:

$\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)$

De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al otro plano

$\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)$

El producto vectorial de ambos vectores, $\mathbf{n}$ y $\mathbf{n}^\prime$ es

$\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)$