Métodos de integración

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Integración por partes
- 2.1 Ejemplo
3 Método de sustitución
- 3.1 Ejemplo
4 Integración de cocientes de plinomios
5 Ejemplo
6 Ejemplo

Introducción

No todos los métodos de integración son adecuados para todas las integrales. La habilidad de ver cual es el método de integración mas idoneo para calcular una integral se adquiere resolviendo muchas integrales.

Integración por partes

La fórmula para la derivada de un producto es:

$\left( \, u \cdot v \, \right)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime$

Despejando el último sumando, queda:

$u \cdot v^\prime = \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime - u^\prime \cdot v$

Si integramos en los dos miembros, se obtiene:

$\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$

La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.

Esta fórmula permite calcular la integral $\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x$ a partir de la integral $\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$ .

Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral $\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$ que la integral de partida, $\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x$ .

Ejemplo

Calculemos la integral

$\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x$

por partes.

Si hacemos

$\begin{array}{ll} <pre> u \left( \, x \, \right) & = x \\ v^\prime \left( \, x \, \right) & = e^x </pre> \end{array}$

se tiene que

$\begin{array}{ll} <pre> u^\prime \left( \, x \, \right) & = 1 \\ v \left( \, x \, \right) & = e^x </pre> \end{array}$

Utilizando la fórmula que hemos visto antes

$\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x$

se deduce que

$\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x \cdot\mathrm{d}x = x \cdot e^x - e^x + C = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot e^x + C$

Método de sustitución

Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:

$\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x$

Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable

$t = \mathrm{f} \left( x \right)$

La nueva variable $t$ es una función de $x$ , con lo cual podemos hablar de la derivada de $t$ con respecto de $x$ , que se puede escribir como un cociente de diferenciales:

$\mathrm{f}^\prime \left( x \right) = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$

Despejando $\mathrm{d}t$ en la igualdad anterior, se deduce que

$\mathrm{d}t = \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x$

Sustituyendo $\mathrm{d}t$ por $\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x$ y $\mathrm{f} \left( x \right)$ por $t$ en

$\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x$

se tiene que

Supongamos que $\mathrm{G} \left( x \right)$ es una primitiva de $\mathrm{g} \left( x \right)$ , entonces

$\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left( <pre> t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{G} \left( t \right) + C= \mathrm{G} \left( \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C </pre> $

Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. El método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva $\mathrm{G}$ de $\mathrm{g}$ .

Ejemplo

Calculemos mediante el método de sustitución la integral

$\int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con

$\begin{array}{ll} <pre> \mathrm{g} \left( x \right) & = \cos \left( x \right) \\ \mathrm{f} \left( x \right) & = e^x </pre> \end{array}$

Observese que

$\begin{array}{rl} <pre> \mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = e^x \\ \int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x & = \int \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> \end{array}$

En este caso, una primitiva de $\mathrm{g} \left( x \right)$ es

$\mathrm{G} \left( \, x \, \right) = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right)$

Por lo tanto

Integración de cocientes de plinomios

Sean $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ y $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ dos polinomios, entonces:

$\frac{\mathrm{P} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)} = \mathrm{C} \left( \, x \, \right) + \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}$

Donde $\mathrm{C} \left( \, x \, \right)$ es un polinomio y $\mathrm{R} \left( \, x \, \right)$ es un polinomio de grado menor o igual al de $\mathrm{R} \left( \, x \, \right)$ .

Si el grado de $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es menor que el grado de $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ entonces $\mathrm{C} \left( \, x \, \right)$ es cero y $\mathrm{R} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ .

Como

$\int \frac{\mathrm{P} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, <pre> \right)} = </pre> \int \mathrm{C} \mathrm{d}x + \int \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, <pre> \right)} \mathrm{d}x </pre> $

para integrar cociente de polinomios nos podemos restringir al caso en el que el polinomio divisor $ <pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) </pre> $

  es de grado mayor que el polinomio dividendo

$ <pre>\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) </pre> $

  es de grado mayor que el polinomio divisor.

Para resolver este tipo de integrales lo primero que hay que hacer es factorizar el polinomio divisor $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ .

Una vez factorizado $\mathrm{Q}$ podemos escribir este polinomio como un producto de polinomios de grado uno y/o de grado dos.

$\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right)^{k_1} \cdot \left( \, x - r_2 \, \right)^{k_2} \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_m \, \right)^{k_m} \cdot \mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right) \cdot \ldots \cdot \mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)$

donde

$r_1, \, r_2, \, \ldots, \, r_m$

son todas las raices reales de $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ y

$\mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right), \, \mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right), \, \ldots, \, \mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)$

son polinomios de grado dos irreducibles ( sin raices reales ).

Una vez que tenemos $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ factorizado podemos reescribir $\frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q}\left( \, x \, \right)}$ de la forma

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Donde hemos seguido la siguiente notación:

$A_{i,j}$ es una constante que multiplica a $\frac{1}{\left( \, x - r_i \, \right)^j}$ .

$B_i \cdot x + C_i$ es un polinomio de grado uno que multiplica a $\frac{1}{\mathrm{Q}_i \left( \, n \, \right)}$ . $B_i$ y $C_i$ son constantes.

Por lo tanto, la integral de $\frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}$ es la suma de las integrales de las fracciones mas simples en las que hemos integrado $\frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}$ .

Estas integrales mas simples son casi inmediatas:

$\int \frac{A_{i,j}}{\left( \, x - r_i \, \right)^j} = \frac{A_{i,j}}{\left( \, 1 - j \, \right) \cdot \left( \, x - r_i \, <pre> \right)^\left( \, j - 1 \, \right)} </pre> $

Esta integral se puede resolver utilizando el cambio de variable $x - r_i \longrightarrow t$ y la integral inmediata

$\int t^{-j} \cdot \mathrm{d}t = \frac{t^\left( \, j <pre> - 1 \, \right)}{\left( \, 1 - j \, \right)} </pre> $

La integral

$\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)}$

se resuelve poniendo el polinomio $\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)$ de la forma:

$\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) = D_i \cdot \left( <pre> \left( \, x - E_i \, \right)^2 - F_i \, </pre> \right)$

La integral

$\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)}$

se descompone en dos:

$\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} = \int \frac{B_i \cdot x}{D_i \cdot \left( <pre> \left( \, x - E_i \, \right)^2 - F_i \, </pre> \right)} + \int \frac{C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)}$

La primera integral se resuelve mediante el cambio de variable $\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) \longrightarrow t$ :

$\int \frac{B_i \cdot x}{D_i \cdot \left( <pre> \left( \, x - E_i \, \right)^2 - F_i \, </pre> \right)} <pre>= G_i \cdot \log \left| \, \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)\right| + \mathrm{cte} </pre> $

donde $G_i$ es una constante ( un número que no depende de $x$ , como puede ser el 2 o $\pi$ ).

La segunda integral se resuelve mediante el cambio de variable $x - E_i \longrightarrow t$ : <center> $\int \frac{B_i \cdot x}{D_i \cdot \left( <pre> \left( \, x - E_i \, \right)^2 - F_i \, </pre> \right)} = \frac{C_i}{D_i} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, x - E_i \, \right)$