Métodos de integración
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Introducción
No todos los métodos de integración son adecuados para todas las integrales. La habilidad de ver cual es el método de integración mas idoneo para calcular una integral se adquiere resolviendo muchas integrales.
Integración por partes
La fórmula para la derivada de un producto es:
Despejando el último sumando, queda:
Si integramos en los dos miembros, se obtiene:
La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.
Esta fórmula permite calcular la integral a partir de la integral .
Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral que la integral de partida, .
Ejemplo
Calculemos la integral
por partes.
Si hacemos
se tiene que
Utilizando la fórmula que hemos visto antes
se deduce que
Método de sustitución
Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:
Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable
La nueva variable es una función de , con lo cual podemos hablar de la derivada de con respecto de , que se puede escribir como un cociente de diferenciales:
Despejando en la igualdad anterior, se deduce que
Sustituyendo por y por en
se tiene que
Supongamos que es una primitiva de , entonces
Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. El método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva de .
Ejemplo
Calculemos mediante el método de sustitución la integral
Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con
Observese que
En este caso, una primitiva de es
Por lo tanto
Integración de cocientes de plinomios
Sean y dos polinomios, entonces:
Donde es un polinomio y es un polinomio de grado menor o igual al de .
Si el grado de es menor que el grado de entonces es cero y .
Como
para integrar cociente de polinomios nos podemos restringir al caso en el que el polinomio divisor
es de grado mayor que el polinomio dividendo
es de grado mayor que el polinomio divisor.
Para resolver este tipo de integrales lo primero que hay que hacer es factorizar el polinomio divisor .
Una vez factorizado podemos escribir este polinomio como un producto de polinomios de grado uno y/o de grado dos.
donde
son todas las raices reales de y
son polinomios de grado dos irreducibles ( sin raices reales ).
Una vez que tenemos factorizado podemos reescribir de la forma
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 1 ]
Donde hemos seguido la siguiente notación:
- 1.
es una constante que multiplica a .
- 2.
es un polinomio de grado uno que multiplica a . y son constantes.
Por lo tanto, la integral de es la suma de las integrales de las fracciones mas simples en las que hemos integrado .
Estas integrales mas simples son casi inmediatas:
Esta integral se puede resolver utilizando el cambio de variable y la integral inmediata
La integral
se resuelve poniendo el polinomio de la forma:
La integral
se descompone en dos:
La primera integral se resuelve mediante el cambio de variable :
donde es una constante ( un número que no depende de , como puede ser el 2 o ).
La segunda integral se resuelve mediante el cambio de variable : <center>
Ejemplo
Para verlo todo mas claro resolvamos la siguiente integral:
Ejemplo