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Cálculo de áreas y volúmenes

De Wikillerato

Revisión a fecha de 11:04 25 dic 2010; Fjmolina (Discutir | contribuciones)

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Cálculo de áreas mediante integrales

Supongamos que nos dan dos funciones $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ y $\mathrm{g} \left( \, x \, \right)$ y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.

El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función $\mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right)$ y el eje X.

Para calcular el área comprendida entre la función $\mathrm{h}$ y el eje X, procedemos de la siguiente manera:

1. En primer lugar resolvemos la ecuación:

$\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = 0$

para obtener $n$ soluciones $x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n$ con

$x_1 < x_2 < \ldots < x_n$

2 Buscamos una primitiva de .
1. 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la
fórmula:

$\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_2 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_3 \, \right) \, \right| + \ldots + \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{n-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( \, x_n \, \right) \, \right| </pre> <p>$

donde

$\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_i \, \right) \, \right| </pre> <p>$

es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = x_{i-1}$ , $x = x_i$ , el eje X y la grafica de la función $\mathrm{h}$ .

Ejemplo

Calculemos el área comprendida entre las graficas de $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3$ y $\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x$ .

El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función $\mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - x$ y el eje X.

Para calcular el área comprendida entre la función $\mathrm{h}$ y el eje X, procedemos de la siguiente manera:
1. 1. En primer lugar resolvemos la ecuación:
$\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x$

para obtener 3 soluciones $x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1$ .
1. 2 Una primitiva de es
  
  $\mathrm{H} \left( \, x \, \right) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$
  1. 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:
  $\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_2 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_3 \, \right) \, \right| = </pre> <p>$
  
  $\left| \, \mathrm{H} \left( \, -1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, 0 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, 0 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, 1 \, \right) \, \right| = </pre> <p>$
  
  $</p> <pre>= \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \, \right)^3}{2} - \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} + \frac{\left( \, 0 \, \right)^3}{2} \, \right| + </pre> <p>\left| \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \, </p> <pre> \right)^3}{2} - \frac{\left( \, 1 \, \right)^4}{4} + \frac{\left( \, 1 \, \right)^3}{2} \, \right| </pre> <p>$
  
  Obtenido de "http://wikillerato.org/C%C3%A1lculo_de_%C3%A1reas_y_vol%C3%BAmenes.html"
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