La divisibilidad en los polinomios

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Tabla de contenidos

1 Definición de polinomio DIVISIBLE por otro
- 1.1 Ejemplo
2 Definición de polinomio IRREDUCIBLE
- 2.1 Ejemplos
3 Factorización de polinomios
- 3.1 Ejemplo
4 Simplificación de fracciones algebraicas
- 4.1 Ejemplo
5 Procedimiento para factorizar un polinomio
- 5.1 Ejemplo

Definición de polinomio DIVISIBLE por otro

Un polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es divisible por otro polinomio $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ cuando existe otro polinomio $\mathrm{C} \left( \, x \, \right)$ tal que

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{C} \left( \, x \, \right)$

Los polinomios $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ y $\mathrm{C} \left( \, x \, \right)$ se llaman divisores de $\mathrm{P} \left( <pre> \, x \, </pre> \right)$ .

Ejemplo

$x^2 - 3x + 2 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)$

Por lo tanto, el polinomio $x^2 - 3x + 2$ es divisible por los polinomios $x - 1$ y $x - 2$ , o dicho de otra manera, los polinomios $x - 1$ y $x - 2$ son divisores del polinomio $x^2 - 3x + 2$ .

Definición de polinomio IRREDUCIBLE

Un polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ de grado $n$ se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que $n$ y mayor que 0 es divisor de $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ .

Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.

Ejemplos

Los siguientes dos polinomios son irreducibles:

$\begin{array}{l} <pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1 </pre> \\ \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1 \end{array}$

Factorización de polinomios

Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.

Ejemplo

Una descomposición del polinomio $x^3 - 1$ en producto de polinomios irreducibles es

$x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)$

Otra posible descomposición del polinomio $x^3 - 1$ en producto de polinomios irreducibles es

$x^3 - 1 = \left( \, 2x - 2 \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{2} x^2 + <pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right) </pre> $

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real $a$ distinto de 0, se tiene que

$x^3 - 1 = \left( \, ax - a \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{a} x^2 + <pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right) </pre> $

Simplificación de fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Para simplificar una fracción algebraica se divide los polinomios en el numerador y en el denominador por su maximo común divisor. Para encontrar el maximo común divisor de ambos polinomios se ha de factorizar previamente ambos. El proceso es analogo al que se seguiria en el caso de calcular el maximo común divisor de dos números naturales.

En el proceso de descomposición de ambos polinomios es conveniente que los polinomios irreducibles de la descomposición se elijan de manera que si $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es un polinomio irreducible de grado $n$ obtenido en la factorización de un polinomio, entonces el coeficiente que multiplica a $x^n$ en $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ sea 1.

De esta manera se identifica mejor que polinomios irreducibles son divisores comunes de ambos polinomios ( el polinomio del numerador y el polinomio del denominador ).

Ejemplo

$\frac{x^3 + x^2 + x}{x^2 - x} = \frac{x \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)}{x <pre> \cdot \left( \, x - 1 \, \right)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} </pre> $

El maximo común divisor de los polinomios en el denominador y en el numerador es, en este caso, $x$ .

Procedimiento para factorizar un polinomio

1. Sacamos $x$ factor común, si ello es posible, y tantas veces como se pueda.

2. Si el polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es de grado dos:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c$

resolvemos la ecuación

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0$

Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones $r_1$ y $r_2$ , entonces podemos factorizar $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ de la siguiente manera:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot \left( \, x - r_2 \, \right)$

Puede ocurrir que $r_1$ y $r_2$ coincidan ( sean iguales ).

Si el polinomio

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot x + a_0$

• es de grado mayor que dos

• sus coeficientes son enteros, y

• $\frac{a_0}{a_n}$ es un número entero

intentamos encontrar las raices reales del polinomio $\mathrm{P}$ evaluandolo en cada uno de los divisores de $\frac{a_0}{a_n}$ .

   si y solo si     es divisor de   .

Asi, si hemos encontrado racies

$r_1, r_2, \ldots r_n$ del polinomio $\mathrm{P}$ , entonces existe un polinomio $\mathrm{Q}$ tal que

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot \left( \, x - r_2 \, \right) \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_n \, \right) \cdot \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$

Ejemplo

Factorizemos el polinomio:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x$

Como se puede sacar un $x$ factor común, eso es lo primero que hacemos:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x = x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)$

A continuación factorizamos

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Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos, utilizamos la regla de Ruffini para ver si podemos encontrar alguna de sus raices. Los candidatos a raiz que consideramos son los divisores de $\frac{-12}{2} = -6$ , que son