Posiciones relativas de tres planos

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Sean tres planos $\pi_1$ y $\pi_2$ y $\pi_3$ de ecuaciones:

$\pi_1: \, a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0$

$\pi_2: \, a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0$

$\pi_3: \, a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0$

Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} </pre> \right)$

$A | B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} -d_1 \\ -d_2 \\ -d_3 \end{array} </pre> \right)$

Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden presentar los siguientes casos:

Caso 1: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es compatible determinado, y tiene una única solución. Los planos tienen un único punto común. Los planos se cortan en un punto.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, = \, 1$

$\pi_2: \, y \, = \, 2$

$\pi_2: \, z \, = \, 3$

se cortan en el punto $\left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right)$ y

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Caso 2: Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. Los tres planos no tienen ningún punto en comun.

Puden presentarse dos situaciones distintas:

Subcaso 2.1: Los planos se cortan dos a dos según rectas paralelas. Entre los planos considerados no hay dos que sean paralelos. Por tanto, cada dos planos se cortan según una recta.

Subcaso 2.2: Dos planos paralelos cortados por el tercero.

Caso 3: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indenterminado, y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan en una reta. Pueden presentarse en este caso dos situciones distintas:

Subcaso 3.1: Planos distintos.

Subcaso 3.2: Dos planos son coincidentes.

Caso 4: Rango ( A ) = 1, Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto en común.

Puden presentarse tres situaciones distintas:

Subcaso 4.1: Los tres planos son paralelos.

Subcaso 4.2: Dos planos coinciden y el otro es paralelo.

Subcaso 4.3: Dos planos coinciden y el otro es paralelo.

Caso 5: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Los tres planos coinciden.

En los casos en los que hemos considerado varios subcasos, para distinguir entre los diferentes subcasos es importante tener en cuenta lo siguiente:

Dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ de ecuaciones: