Varianza

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La varianza de una variable aleatoria $X$ es una medida de su dispersión. Sea $\mu = E[x]$ , la definición formal de la varianza es:

$Var[X] = \sigma^{2}(X) = E[(X- \mu)^2]$

Existe una formalización alternativa que en muchos casos puede facilitar los cálculos. Esta se deriva desde esta primera de la siguiente manera:

$Var(X) & = E[ ( X - \mu ) ^ 2 ] \\ & = E[ ( X ^ 2 - 2X\mu + \mu ^ 2) ] \\ & = E( X ^ 2) - 2\mu E(X) + \mu ^ 2 \\ & = E( X ^ 2) - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \\ & = {E} ( X ^ 2) - \mu ^ 2$

Caso discreto

En caso que $X$ sea una variable aleatoria discreta con valores $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ y sus probabilidades estén representadas por la función de probabilidad $p(x_{1}), p(x_{2}), ..., p(x_{n})$ , la se calcula como:

$Var(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2$

donde

$\mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i$ .

Caso continuo

Si la variable aleatoria $X$ es una variable aleatoria continua con función de densidad $f(x)$

$Var(X) =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,$

donde

$\mu = \int x \, f(x) \, dx\ = E[X]$

y las integrales están definidas sobre el rango de $X$ .

Propiedades de la varianza

Algunas propiedades de la varianza son:

$V(X) \geq 0 \,\!$
$V(aX + b) = a^2 V(X) \,\!$ siendo a y b números reales cualesquiera. De esta propiedad se deduce que la varianza de una constante es cero, es decir, $V(b) = 0 \,\!$
$V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y) \,\!$ , donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.
$V(X-Y) = V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y) \,\!$ , donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.

Ejemplo

Dado perfecto

Un dado de seis caras puede representarse como una variable aleatoria discreta que toma, valores del 1 al 6 con probabilidad igual a ¹/₆. El valor esperado es $(1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5$ . Por lo tanto, su varianza es:

$\sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6} (i - 3.5)^2 = \tfrac{1}{6}\left((-2.5)^2{+}(-1.5)^2{+}(-0.5)^2{+}0.5^2{+}1.5^2{+}2.5^2\right) = \tfrac{1}{6} \cdot 17.50 = \tfrac{35}{12} \approx 2.92\,.$

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