Distribuciones discretas

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Tabla de contenidos

1 Función de probabilidad
- 1.1 Ejemplo
2 Función de distribución

Función de probabilidad

Denotaremos como $\mathrm{P} \left( <pre> \, X \, = \, x_i \, </pre> \right)$ a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor $x_i$ .

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ a la aplicacion que a cada valor de $x_i$ de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:

$\mathrm{f} \left( <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, x_i \, \right) </pre> $

Por definición, deducimos que si $\left\{ <pre> \, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \, </pre> \right\}$ son los valores que puede tomar la variable $X$ , entonces:

$\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, <pre> x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \, </pre> \ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1$

ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.

Ejemplo

En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación $X$ que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:

$\begin{array}[c]{cc} \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, = \, \mathrm{P} <pre>\left( \, X \, = \, 0 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 1 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad \\ \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 2 \, \right) \, = \, \frac{3}{8} \qquad & \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, X \, = \, 3 \, \right) \, = \, \frac{1}{8} \qquad </pre> \end{array}$

Observa que $\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1$

Función de distribución

Dada una variable aleatoria discreta $X$ , su función de distribución es la aplicación que a cada valor de $x_i$ de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o iguales que $x_i$ , y la denotamos por:

$\mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, X \le x_i \, </pre> \right)$

La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguentes caracteristicas:

1. Al ser una probabilidad, $1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \ge 0$ .

2. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es nula para todo valor de $x$ menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a la unidad para todo valor de $x$ mayor que el mayor valor de la variable.

3. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es creciente.

4. $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es constante en cada intervalo $\left( <pre> \, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \, </pre> \right)$ , además es continua a la derecha de $x_i$ y a la izquierda $x_{i \, + \, 1}$ , y discontinua a la izquierda de $x_i$ y a la derecha de $x_{i+1}$ , para $i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1$

5. Sea $x_j > x_i$ , entonces $\mathrm{F} \left( <pre> \, x_j \, \right) \, - \, \mathrm{F} </pre> \left( <pre> \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, x_j \ge X > x_i \, \right) </pre> $ , donde $n > i \ge 1$ y $n \ge j > i$