Ver código fuente

De Wikillerato

Esta es la página de Dudas del artículo "Ecuaciones del plano".
Puedes hacer preguntas aquí sobre el tema que trata si no has entendido algo o quieres saber más.
Atención: es necesario iniciar sesión para poder editar esta página.

Ecuacion general del plano

Cómo se plantea la ecuacion general del plano a partir de la ecuacion normal??????

Isabel pozo (Discutir)

00:03 27 nov 2011

Ver código fuente

No tienes permiso para hacer eso, por los siguientes motivos:

No tienes permiso para editar las páginas del espacio de nombres Dudas.
No está autorizado a ejecutar la acción que ha solicitado.

Puedes ver y copiar el código fuente de esta página:

Pues como se explica en la entrada de wikillerato [[Ecuaciones del plano]], un plano está perfectamente definido, si conoces 3 puntos que pertenecen a ese plano. A partir de esos 3 puntos, existen 4 formas de expresar un plano en forma de ecuaciones:

# Ecuación en forma vectorial
# Ecuación en forma paramétrica
# Ecuación en forma general
# Ecuación normal


Si partes de la '''ecuación''' normal de un plano:

<math>ax + by + cz = d</math>


puedes hayar fácilmente 3 puntos que pertenezcan a dicho plano, por ejemplo, si tienes la ecuacion normal de un plano cualquiera:

<math>x + 2y + z = 1</math>


puedes elegir valores ''x'' e ''y'', para después calcular ''z'':

<math>x = 1, y = 1  \Rightarrow  z = 1 - x - 2y = 1 - 1 - 2 = -2</math>


por lo que ya tendríamos un punto que pertenece al plano,

<math>$P_{1}$ = ( 1, 1, -2)</math>


Si hacemos lo mis otras dos veces, obtenemos los tres puntos que definen mi plano:

<math>x = 0, y = 0  \Rightarrow  z = 1 - x - 2y = 1 - 0 - 0 = 1</math>

<math>$P_{2}$ = ( 0, 0, 1)</math>

<math>x = -1, y = -1  \Rightarrow  z = 1 - (-1) - 2(-1) = 1 + 1 + 2 = 4</math>

<math>$P_{3}$ = ( -1, -1, 4)</math>


A partir de estos tres puntos puedes calcular 2 vectores que pertenecen al plano:

<math>\vec{\mathbf{u}} = $P_{2}$ - $P_{1}$ = ( 0, 0, 1) -  ( 1, 1, -2) =  ( -1, -1, 3)</math>

<math>\vec{\mathbf{u}} = $P_{3}$ - $P_{1}$ = ( -1, -1, 4) -  ( 1, 1, -2) =  ( -2, -2, 2)</math>

Y siguiendo los pasos que se explican en la página [[Ecuaciones del plano]], puedes hayar la ecuanción del plano en forma general, ya que se define a partir de un punto <math>$P_{1}$</math> y 2 vectores <math>\vec{\mathbf{u}}</math> y <math>\vec{\mathbf{v}}</math>.

Para hayar dicha ecuación sólo hay que sustituir nuestros valores en el siguiete determinante  e igualarlo a cero

<center>
<math>
\left|
  \begin{array}[c]{rcl}
    x \, - \, x_0 & u_x & v_x
    \\
    y \, - \, y_0 & u_y & v_y
    \\
    z \, - \, z_0 & u_z & v_z
    \\
  \end{array}
\right| = 0
</math>
</center>

Por lo que desarroyando el siguiente determinante hayarías dicha ecuanción:

<center>
<math>
\left|
  \begin{array}[c]{rcl}
    x \, - \,  1 & -1 & -2
    \\
    y \, - \,  1 & -1 & -2
    \\
    z \, + \, 2 &  \ 3 & \  2
    \\
  \end{array}
\right| = 0
</math>
</center>

Volver a Dudas:Ecuaciones del plano.

Obtenido de "http://wikillerato.org/Dudas:Ecuaciones_del_plano.html"