Algunos problemas con triángulos

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Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas.

Tabla de contenidos

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1 Problema de Napoleón
2 Problema I
3 Problema II
4 Problema III
5 Problema IV
6 Problema V
7 Problema VI
8 Problema VII
9 Problema VIII
10 Problema IX
11 Problema X
12 Problema XI
13 Problema XII
14 Problema XIII

Problema de Napoleón

Este problema atribuido al emperador francés es realmente otra propiedad de los triángulos, aunque se la conoce con el nombre de problema: “Si en un triángulo arbitrario $ABC$ se construye un equilátero con un lado coincidente con cada lado, los puntos notables de estos triángulos determinan otro equilátero”.

Problema I

$AB$ es la hipotenusa de un triángulo. $X$ es el punto por el que pasa la bisectriz de ángulo en $C$ . Construir el triángulo $ABC$ .

El triángulo buscado es rectángulo, siendo $ACB=90^\circ$ . Si dibujamos el arco capaz de $90^\circ$ para $AB$ y el de $45^\circ$ para $AX$ el problema está resuelto. El punto $C$ es la intersección de los dos arcos capaces. Hay otra solución simétrica a $ABC$ respecto de $AB$ .

Problema II

En un triángulo el ángulo $ACB=90^\circ$ , el lado $AB$ y la suma de los lados $a+b$ son segmentos dados. Construir el triángulo $ABC$ .

Dibujamos el perímetro del triángulo que es el segmento $Aâ��Aâ��= c+a+b$ , pues $AB=c$ . Señalamos el punto $B$ , pues $Aâ��B=AB$ . El punto $A$ estará en la circunferencia de centro $B$ y radio $BAâ��$ .

Dibujamos en $Aâ��$ el ángulo de $45^\circ=90^\circ / 2$ . El lado del ángulo corta al arco de circunferencia en las dos posiciones del punto $A$ . Dibujamos $ABC$ . El otro resultado, rayado, es el mismo triángulo colocado con los catetos en distinta dirección.

Problema III

Conocemos el lado $AB$ de un triángulo y sus alturas $ha$ y $hc$ . Construir el triángulo $ABC$ . Dibujamos el lado $AB$ y una recta paralela a $AB$ a la distancia $hc$ . Trazamos un arco con radio $ha$ y centro en $A$ y la tangente desde $B$ a dicho arco. El punto $C$ será la intersección de la paralela con la tangente.

Hay otra solución simétrica a $ABC$ respecto de $AB$ .

Problema IV

Conocemos el lado $AB$ de un triángulo, un vértice $M$ de su órtico y sabemos que el circuncentro $C$ dista una magnitud dada, $CP$ , de $AB$ . Construir el triángulo.

Hallamos la mediatriz de $AB$ y situamos el circuncentro sobre ella. Dibujamos la circunferencia circunscrita, donde estará el vértice $C$ buscado. Como $M$ es un vértice del órtico, es el pie de la altura sobre $AB$ . Trazamos una perpendicular por $M$ y hallamos $C$ en su intersección con la circunscrita. Existe otra solución simétrica respecto de $AB$ .

Problema V

Conocemos el lado $AB$ de un triángulo y sus medianas $ma$ y $mc$ . Construir el triángulo.

Trazamos la mediatriz de $AB$ para hallar su punto medio $M$ .

Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en $A$ y radio $2ma/3$ trazamos un arco. Con centro en $M$ y radio $mc/3$ trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud $mc$ desde $M$ , asì hallamos $C$ y trazamos el triángulo $ABC$ .

Problema VI

Conocemos un punto P de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, su recta de Simson s y las perpendiculares desde P la los lados del triángulo. Dibujar ABC y su circunferencia de Feuerbach. Comprobar que si O es el ortocentro, el punto medio de PO está sobre s y sobre dicha circunferencia. Trazamos por X, Y y Z las perpendiculares a PX, PY y PZ respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo ABC. Hallamos su ortocentro O y su circunferencia de Feuerbach y comprobamos la posición del punto M como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que P está en la circunscrita de ABC.

Problema VII

Conocemos el segmento CO determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC y su vértice B. Construir el triángulo. Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro C y radio CB. Sabemos que el vector CO es la suma de los vectores CA+CB+CC, siendo C el circuncentro. Realizamos la operación inversa hallando CD; igual y paralelo a BO, tal que CB +CD=CO. Por D trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que CA=CB=CC son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos A y C vértices de ABC. Comprobamos que el vector CD=CA+CC y por lo tanto CO=CA+CB+CC.

Problema VIII

Conocemos el circuncentro, un vértice A la recta na que contiene a la mediana que pasa por A y la mediatriz ma. Construir el triángulo ABC. Dibujamos la circunscrita con centro en C y radio CA. Por el punto de intersección de na con ma trazamos la perpendicular a ma, obteniendo los vértices B y C de la solución.

Problema IX

Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, el vértice A y la bisectriz bC . Construir el triángulo ABC. La bisectriz bC se cortará con la mediatriz del lado AB opuesto al ángulo en C en un punto X de la circunscrita. La recta XC es la mediatriz de AB, mAB . El vértice B es simétrico de A respecto a dicha mediatriz. Por otra parte la bisectriz bC corta a la circunscrita en el vértice C.

Problema X

Conocemos la mediatriz mAB , la bisectriz bC y un punto A del triángulo ABC. Construir dicho triángulo. La intersección de la mediatriz y la bisectriz dadas es un punto P que pertenece a la circunscrita de ABC. Trazamos la mediatriz de AP y hallamos el centro de dicha circunscrita, que dibujamos. El punto B es el simétrico de A respecto de mAB y el punto C la intersección de bC con la circunscrita. Dibujamos ABC.

Problema XI

Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo ABC. Construir el triángulo. Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son ABC y A’B’C’.

Problema XII

Conocemos dos circunferencias, la menor inscrita y la mayor exinscrita a un triángulo ABC. Construir el triángulo. Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son ABC y A’B’C’.

Problema XIII

Dado un triángulo ABC, construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler. En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach.